伴う素イデアルの英語

抽象代数学において，環 R 上の加群 M に伴う素イデアル（英: associated prime）あるいは M の素因子とは，M の（素）部分加群の零化イデアルとして生じる R の素イデアルのタイプである．素因子全体の集合は通常 AssR(M) と書かれる． 可換環論において，素因子は可換ネーター環におけるイデアルの準素分解と結びついている．具体的には，イデアル J が準素イデアルの有限交叉として分解されているとき，これらの準素イデアルの根基は素イデアルであり，素イデアルたちのこの集合は AssR(R/J) と一致する．またイデアルの「素因子」の概念と結びついているのは，孤立素因子 (isolated prime) と非孤立あるいは埋め込まれた素因子 (embedded prime) の概念である． 零でない R 加群 N が prime module であるとは，N の任意の非零部分加群 N′ に対して零化イデアル A n n R ( N ) = A n n R ( N ′ ) {\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,} となることである．prime module N に対し， A n n R ( N ) {\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)\,} は R の素イデアルである． R 加群 M に伴う素イデアル (associated prime) とは，N を M の prime submodule として AnnR(N) の形のイデアルのことである．可換環論における通常の定義は異なるが同値である：R が可換であるとき，M に伴う素イデアル P とは，M の非零元 m に対して A n n R ( m ) {\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(m)\,} の形の素イデアル，あるいは同じことであるが，R/P が M のある部分加群に同型な素イデアルのことである． 可換環 R において，AssR(M) における（集合論的包含に関する）極小元は孤立素因子 (isolated prime) と呼ばれ，残りの素因子（すなわちある素因子を真に含むもの）は非孤立素因子 (embedded prime) と呼ばれる． 加群が coprimary であるとは，ある 0 ≠ m ∈ M に対して xm = 0 ならばある正の整数 n に対して xnM = 0 となることをいう．可換ネーター環上の零でない有限生成加群 M が coprimary であることとちょうど1つの素因子を持つことは同値である．M の部分加群 N が P-primary とは，M/N が P で coprimary なことをいう．イデアル I が P-準素イデアルであることと AssR(R/I) = {P} は同値である；したがって概念は準素イデアルの一般化である． これらの性質や主張のほとんどは (Lam 2001) の86ページ以降に与えられている． 以下の性質は全て可換ネーター環 R に対するものである：