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単射的対象の英語
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英訳・英語 Injective object
Weblio英和対訳辞書での「単射的対象」の英訳 |
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単射的対象
Injective object
数学,特に圏論において,単射的対象(たんしゃてきたいしょう,英: injective object, あるいは移入的対象,入射的対象)の概念は単射的加群の概念の一般化である.この概念はホモトピー論とモデル圏の理論において重要である.双対概念は射影的対象である. Q が H 単射的とは,H における射 A → B が与えられたとき,任意の A → Q が B → Q に拡張することをいう. C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} を圏とし H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の射のあるクラスとする. C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の対象 Q が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} -単射的とは, H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の任意の射 f: A → Q と任意の射 h: A → B に対して,ある射 g: B → Q が存在して f (の始域)を拡張する,すなわち g ∘ h = f {\displaystyle g\circ h=f} となることをいう. 上の定義における射 g は h と f によって一意的に決定されることは要求されない. 局所的に小さい圏では,それはhom関手 H o m C ( − , Q ) {\displaystyle Hom_{\mathfrak {C}}(-,Q)} が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} -射を全射に送ることと同値である. H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の古典的な選択は単射全体のクラスであり,この場合,単射的対象という表現が使われる. アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった(そして今でも最も重要なものである). C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} がアーベル圏のとき, C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の対象 A が単射的であるとは,hom関手 HomC(–,A) が完全であることをいう. を C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} における完全列であって A が単射的対象であるものとする.すると列は分裂し,B が単射的であることと C が単射的であることは同値である. C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} を圏とし,H を C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の射のあるクラスとする;圏 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} が充分 H 単射的対象をもつ (have enough H injectives) とは, C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} のすべての対象 X に対して,X からある H-単射的対象へのある H 射が存在することをいう. C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} における H 射 g が H 本質的 (H-essential) であるとは,任意の射 f に対して,合成 fg が H に属するのは f が H に属するときに限ることをいう.H が単射全体のクラスであるとき,g は本質的単射と呼ばれる. f が H 本質的 H 射であって,始域が X, 余域が H 単射的な G であるとき,G は X の H 単射的包絡 (H-injective hull) と呼ばれる.するとこの H 単射的包絡は,標準的でない同型の違いを除いて一意的である.
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