CR manifoldとは 意味・読み方・使い方

数学において、CR多様体（CRたようたい、英: CR manifold）とは，微分可能多様体で，複素数空間の中の実超曲面の幾何構造をモデル化したものである． CR は，コーシー・リーマン，あるいは，複素 (Complex)・実 (Real) の省略形である． CR多様体のモデルは複素数空間 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 内の領域の滑らかな境界である. 領域 Ω ⊂ C n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}} の滑らかな境界 M {\displaystyle M} について, 次で定義される複素化(complexified)された接束 C T M = T M ⊗ C {\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C} } の部分ベクトル束 L {\displaystyle L} を考えよう: L := C T M ∩ T 1 , 0 C n . {\displaystyle L:=\mathbb {C} TM\,\cap \,T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}.} ここで, T 1 , 0 C n {\displaystyle T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}} は C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} の正則接束を表すとする. このとき, L {\displaystyle L} は次を満たす: ただし, L ¯ {\displaystyle {\overline {L}}} は L {\displaystyle L} の複素共役とする. CR多様体とは，微分可能多様体 M {\displaystyle M} とその上の複素化(complexified)された接束 C T M = T M ⊗ C {\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C} } の部分ベクトル束 L {\displaystyle L} で次の条件を満たすものの組 ( M , L ) {\displaystyle (M,L)} のことである: ここで, L ¯ {\displaystyle {\overline {L}}} は L {\displaystyle L} の複素共役とする. このとき，ベクトル束 L {\displaystyle L} を多様体 M {\displaystyle M} 上のCR構造という． L {\displaystyle L} の階数 r a n k C L {\displaystyle {\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L} をCR次元, dim ⁡ M − 2 r a n k C L {\displaystyle \dim M-2\;{\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L} をCR余次元という． CR余次元が1のとき, ( M , L ) {\displaystyle (M,L)} は超曲面型(hypersurface type)であるという. M {\displaystyle M} を超曲面型のCR多様体とする．レヴィ形式 h {\displaystyle h} は，直線束 に値を持つ L {\displaystyle L} 上で定義されたベクトル値形式(vector valued form)で， により与えられる． h {\displaystyle h} は，可積分条件により， v {\displaystyle v} と w {\displaystyle w} が L {\displaystyle L} の切断へどのように拡張するかには依存せず， L {\displaystyle L} 上の半双線型形式を定義する．この形式 h {\displaystyle h} は，同じ形で束 L ⊕ L ¯ {\displaystyle L\oplus {\bar {L}}} 上のエルミート形式へ拡張できる．この拡張された形式も，レヴィ形式と呼ばれることもある。