英和和英

圏論において，射影的対象（しゃえいてきたいしょう，英: projective object）の概念は射影的加群の概念を一般化する． 圏 C {\\displaystyle {\\mathcal {C}}} の対象 P が射影的とは，hom関手 が全射を保つことをいう．つまり，任意の射 f : P → X {\\displaystyle f\\colon P\\to X} は任意の全射 Y → X を通して分解する． C {\\displaystyle {\\mathcal {C}}} をアーベル圏とする．この文脈では，対象 P ∈ C {\\displaystyle P\\in {\\mathcal {C}}} が射影的対象であるとは， が完全関手であることをいう．ただし A b {\\displaystyle \\mathbf {Ab} } はアーベル群の圏である． 射影的対象の双対概念は単射的対象の概念である：アーベル圏 C {\\displaystyle {\\mathcal {C}}} の対象 Q が単射的であるとは， C {\\displaystyle {\\mathcal {C}}} から A b {\\displaystyle \\mathbf {Ab} } への関手 Hom ⁡ ( − , Q ) {\\displaystyle \\operatorname {Hom} (-,Q)} が完全であることをいう． A {\\displaystyle {\\mathcal {A}}} をアーベル圏とする． A {\\displaystyle {\\mathcal {A}}} が充分射影的対象をもつ（Have Enough Projectives）とは， A {\\displaystyle {\\mathcal {A}}} の任意の対象 A に対して， A {\\displaystyle {\\mathcal {A}}} の射影的対象 P と完全列 が存在することをいう．言い換えると，射 p: P → A は全射である． R を 1 をもつ環とする．左 R 加群の圏 M R {\\displaystyle {\\mathcal {M}}_{R}} を考える． M R {\\displaystyle {\\mathcal {M}}_{R}} はアーベル圏である． M R {\\displaystyle {\\mathcal {M}}_{R}} における射影的対象はちょうど射影左 R 加群である．なので R はそれ自身 M R {\\displaystyle {\\mathcal {M}}_{R}} の射影的対象である．双対的に， M R {\\displaystyle {\\mathcal {M}}_{R}} における単射的対象はちょうど単射的左 R 加群である． 左（右）R 加群の圏は充分射影的対象を持つ．なぜならば，任意の左（右）R 加群 M に対して，F として M の生成集合 X（M でよい）によって生成される自由（したがって射影）R 加群をとることができるからである．すると 標準射影 π: F → M が所望の全射である． この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Projective objectの本文を含む この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Enough projectivesの本文を含む