英和和英

数学において，位相群 G の離散部分群（りさんぶぶんぐん，英: discrete subgroup）とは，部分群 H であって，H の開被覆で任意の開部分集合が H の元をちょうどひとつ含むようなものが存在するものである．言い換えると，H の G における部分空間位相は離散位相である．例えば，整数の全体 Z は実数の全体 R（標準的な距離位相をいれる）の離散部分群であるが，有理数の全体 Q は離散部分群ではない．離散群とは離散位相を備えた位相群である． 任意の群には離散位相を与えることができる．離散空間からの任意の写像は連続であるから，離散群の間の位相的準同型はちょうどその群の間の群準同型である．したがって，群の圏と離散群の圏の間には同型がある．離散群はしたがってその（抽象）群と同一視できる． 位相群あるいはリー群に「自然に逆らって」離散位相を入れると有用な場合がある．例えばボーアコンパクト化の理論やリー群の群コホモロジーにおいてである． 離散等長変換群は距離空間の任意の点に対して等長変換のもとでの点の像の集合が離散集合であるような等長変換群である．離散対称変換群は離散等長変換群である対称変換群である． 位相群は等質空間であるから，位相群が離散的であるかどうかを決定するには一点を見るだけでよい．とくに，位相群が離散的であることと単位元のみからなるシングルトンが開集合であることは同値である． 離散群は 0 次元リー群と同じものである（非可算離散群は第二可算でないため，リー群にこの公理を課す著者はこれらの群をリー群とはみなさない）．離散群の単位元成分は単に自明な部分群であり，成分群は群自身に同型である． 有限集合上のハウスドルフ位相は離散的なものしかないから，有限ハウスドルフ位相群は離散的でなければならない．したがってハウスドルフ群の任意の有限部分群は離散的である． G の離散部分群 H が余コンパクト (cocompact) とは，HK = G なる G のコンパクト部分集合 K が存在することをいう． 離散正規部分群は被覆群や局所同型群の理論において重要な役割を果たす．連結群 G の離散正規部分群は G の中心に入っていなければならず，したがってアーベルである． 他の性質：