Minakshisundaram–Pleijel zeta functionの英語

ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数（英: Minakshisundaram–Pleijel zeta function）はコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの固有値をエンコードしたゼータ函数である．このゼータ函数はミナクシサンドラムとプレイジェルSubbaramiah Minakshisundaram and Åke Pleijel (1949) により導入された．平面のコンパクトな領域の場合には、より早く Carleman (1935) により導入された． 固有値 λ 1 , λ 2 , … {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots } のラプラス-ベルトラミ作用素 Δ を持つ N 次元コンパクトリーマン多様体 M に対して、作用素 Δ のゼータ函数が、 Re ⁡ ( s ) {\displaystyle \operatorname {Re} (s)} が十分大きい s について で与えられる（ここにもし固有値がゼロであれば、この和から除外する）．多様体が境界を持つ場合は、ディリクレ条件やノイマン条件のような適当な境界条件を課さねばならない． さらに一般的には、多様体上の点 P と Q について とゼータ函数を定義することができる．ここに fn は正規化された固有函数である．この定義は全複素数 s について s の有理型函数へと解析接続され、P≠Q では正則である。