Injective objectとは 意味・読み方・使い方

数学，特に圏論において，単射的対象（たんしゃてきたいしょう，英: injective object, あるいは移入的対象，入射的対象）の概念は単射的加群の概念の一般化である．この概念はホモトピー論とモデル圏の理論において重要である．双対概念は射影的対象である． Q が H 単射的とは，H における射 A → B が与えられたとき，任意の A → Q が B → Q に拡張することをいう． C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} を圏とし H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の射のあるクラスとする． C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の対象 Q が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} -単射的とは， H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の任意の射 f: A → Q と任意の射 h: A → B に対して，ある射 g: B → Q が存在して f （の始域）を拡張する，すなわち g ∘ h = f {\displaystyle g\circ h=f} となることをいう． 上の定義における射 g は h と f によって一意的に決定されることは要求されない． 局所的に小さい圏では，それはhom関手 H o m C ( − , Q ) {\displaystyle Hom_{\mathfrak {C}}(-,Q)} が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} -射を全射に送ることと同値である． H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の古典的な選択は単射全体のクラスであり，この場合，単射的対象という表現が使われる． アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった（そして今でも最も重要なものである）． C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} がアーベル圏のとき， C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の対象 A が単射的であるとは，hom関手 HomC(–,A) が完全であることをいう． を C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} における完全列であって A が単射的対象であるものとする．すると列は分裂し，B が単射的であることと C が単射的であることは同値である． C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} を圏とし，H を C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の射のあるクラスとする；圏 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} が充分 H 単射的対象をもつ (have enough H injectives) とは， C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} のすべての対象 X に対して，X からある H-単射的対象へのある H 射が存在することをいう． C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} における H 射 g が H 本質的 (H-essential) であるとは，任意の射 f に対して，合成 fg が H に属するのは f が H に属するときに限ることをいう．H が単射全体のクラスであるとき，g は本質的単射と呼ばれる． f が H 本質的 H 射であって，始域が X, 余域が H 単射的な G であるとき，G は X の H 単射的包絡 (H-injective hull) と呼ばれる．するとこの H 単射的包絡は，標準的でない同型の違いを除いて一意的である．