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意味
例文
JMdict
同値類
読み方
:
どうちるい
文法情報
(
名詞
)
対訳
equivalence class
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日英・英日専門用語辞書
同値類
equivalence class
Weblio英和対訳辞書
同値類
Equivalence class
数学
において
,ある
集合
S の
元
が(
同値関係
として
定式化
される
)
同値
の
概念
を
持つ
とき,
集合
S を同値類(
どうちるい
,
英
:
equivalence class
)たちに
自然に
分割
できる
.
これら
の同値類は,
元
a と b が
同じ
同値類に
属する
のは a と b が
同値
である
とき,かつ
そのときに
限る
もの
として
構成される
.
フォーマル
には,
集合
S と S
上の
同値関係
∼ が
与えられた
とき,
元
a の S に
おける
同値類は,a に
同値
な
元
全体の
集合
である
.「
同値関係
」の
定義
から同値類は S
の分
割
をなす.
この分
割
,同値類たちの
集合
,を S の ∼
による
商
集合
(
quotient
set
)
あるいは
商空間
(
quotient space
) と
呼び
,
S/
∼ と
表記する
.
集合
S が(
群
演算
や
位相
のような
)
構造
を
持ち
,
同値関係
∼ がこの
構造
と
適切に
両立する
ように
定義
されている
とき,
商
集合
はしばし
ば
もとの
集合
から
類似の
構造
を引き継ぐ
.
例として
は,
線型代数学
に
おける
商空間
,
位相空間
論
に
おける
商空間
,
商群
,
等質空間
,
商環
,
商
モノイド
,
商圏
など.
同値関係
は
二項関係
∼ であって
以下の
3つ
の
性質
を満たす
ものである
:
元
a の同値類は [a] と
書き
,a と ∼
によって
関係づけ
られる
元
全体の
集合
として
定義される
.
同値関係
R を
明示
して [a]R とも
書かれる
.
これは
a の R-同値類と
いわれる
.
同値関係
R
に関する
X の
すべての
同値類
からなる
集合
を X/R と
書き
,X の R
による
商
集合
(
quotient
set of
X
by
R, X
modulo R
)
と呼ぶ
.X から X/R への
各
元
をその同値類に
写す
全射
x ↦ [ x ] {\displaystyle x\mapsto [x]} は
標準
射影
と呼ばれる
.
各
同値類の
元
を(
しばしば
暗黙
に)
選ぶ
と,
切断
と呼ばれる
単射
が
定義される
.この
切断
を s で
表
せば,
各
同値類 c に
対して
[s
(c)
] = c
である
.
元
s
(c)
は c の
代表
元
(
representative
)
と呼ばれる
.
切断
を
適切に
取って
類
の
任意の
元
をその
類
の
代表
元
として
選ぶ
こと
ができる
. ある
切断
が
他の
切断
よりも
「
自然
」
であること
がある
.
この場合
,
代表
元
を
標準
代表
元
と呼ぶ
.
例えば
,
合同
算術
において
,
整数
上の
同値関係
で,a ∼ b を a − b が
法
と呼ばれる
与えられた
整数
n の
倍数
である
と
定義
したもの
を
考える
.
各
類
は n
未満
の
非負整数
を
唯一
つ
含み
,
これら
の
整数
が
標準的な
代表
元
である
.
類
とその
代表
元
は
多かれ少なかれ
同一視
され,
例えば
a
mod
n
という
表記は
類
を表す
ことも
標準的な
代表
元
(a を n で
割った
余り
)
を表す
こともある
. X の
任意の
元
x は同値類 [x] の
元
である
.
任意の
2つの
同値類 [x] と [
y]
は,
等しい
か
互いに素
か
のいずれか
である
.
したがって
,X の
すべての
同値類
からなる
集合
は X
の分
割
をなす,
つまり
,X の
任意の
元
はちょう
ど
1つ
の同値類に
属する
.
逆に
X の
任意の
分割
は
同値関係
からこ
のように
して
生じる
.x ∼ y を x と y が
分割
の
同じ
集合
に
属する
とした
同値関係
である
.
同値関係
の
性質
から
次
が
従う
:
言い換えると
,∼ が
集合
X
上の
同値関係
であり
,x と y が X の
2つの
元
であれば
,
以下の
主張
は
同値
である
:
任意の
二項関係
は
有向グラフ
によって
,
同値関係
のような
対称的
なものは
無向グラフ
によって
表すこと
ができる
.∼ が
集合
X
上の
同値関係
である
とき,
グラフの
頂点
全体を
X の
元
全体
とし,s ∼ t
のとき
,かつ
そのときに
限り
頂点
s と t
を結ぶ
.同値類はこの
グラフ
において
グラフの
連結成分
をなす
極大
クリーク
によって
表される
. ∼ が X
上の
同値関係
で P(x) が,x ∼ y
である
ときには
いつでも
,P(y) が
真
ならば
P(x) が
真
であるような
,X の
元の
性質
である
とき,
性質
P は ∼ の
不変量
,
あるいは
関係
∼
のもとで
well-defined
である
と
いわれる
.
よくある
場合は
f が X から
別の
集合
Y への
関数
である
ときに
生じる
;
x1
∼
x2
である
ときには
いつでも
f(
x1
) = f(
x2
)
である
とき,f は ∼
に対する
射
,∼
の下
での
類
不変量
,
あるいは
単に
∼
の下
の
不変量
と
いわれる
.
これは
例えば
有限群
の
指標理論
において
現れる
.
著者
によっては
「∼
の下
で
不変
」
の代わりに
「∼ と
両立する
」
あるいは
ただ「∼
に従う
」を
用いる
.
任意の
関数
f: X → Y はそれ
自身
,
x1
∼
x2
⇔ f(
x1
) = f(
x2
) なる X
上の
同値関係
を
定義する
.x の同値類は f(x) に
写
される
X の
元
全体の
集合
である
,
つまり
,
類
[x] は f(x) の
逆像
である
.この
同値関係
は f の
核
として知られている
. より
一般に
,
関数
は(X
上の
同値関係
∼X
の下
で)
同値
な
引数
を(Y
上の
同値関係
∼Y
の下
で)
同値
な
値
に
送ること
がある
.
そのような
関数
は ∼X から ∼Y への
射
と呼ばれる
.
位相空間
論
において
商空間
は、
与えられた
同値関係
に関する
同値類
全体の
成す
集合
上に
もとの
空間の
位相
から
誘導される
位相
を
入れて
得られる
位相空間
である
。
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Weblio例文辞書
同値類
1
形態類
例文
form class
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