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algebraic group

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Algebraic group

代数群
代数幾何学において代数群だいすうぐん,: algebraic group, あるいは多様体: group variety)とは,代数多様体であるようなであって,逆元を取る演算がその多様体上の正則写像によって与えられるものである圏論ことばでは,代数群代数多様体おける対象である以下のような代数群いくつかの重要なクラスがある重要な代数群クラス2つあり,ほとんどの部分別々に研究されるアーベル多様体(「射影的な理論)と代数群(「アファインの」理論であるもちろんどちらでもないもあり,例えばワイエルシュトラスゼータ関数のような第二第三積分の現代理論一般ヤコビ多様体理論において現れるしかしシュバレー構造定理によると任意の代数群アーベル多様体代数群による拡大であるこれはクロード・シュバレーによる結果である.K が完全体で G が K 上の代数群であるとき,次のような G の正規部分群 H が一意的存在する.Hであり,G/H はアーベル多様体である別の基本的な定理によると,アファイン多様体任意の忠実な有限次元の表現をもつ.それを K 上の多項式によって定義された行列乗法演算としてもつ,K 上の行列群と考えることができるそのためアファイン代数群概念冗長であるとても具体的な定義を使うことができるである実数体上で考えるとこれは代数群リー群よりも狭いクラスであることを意味することに注意する2次特殊普遍被覆のようにリー群であるが忠実な表現持たないが存在するである2つの概念のより明らかな違いは,アファイン代数群 G の単位元成分は G において指数有限でなければならないことである. (可換 R 上で考えたときにはスキーム概念があるつまり,R 上のスキームおける対象である.アファインスキームホップ代数のタイプ双対概念であるスキーム極めて精密な理論があり,例えばアーベル多様体当今理論において用いられている代数群部分代数 (algebraic subgroup) はザリスキ部分群である一般にさらに連結あるいは多様体として既約であるようにとる. その条件を表す別の方法は,部分多様体でもあるような部分群である多様体の代わりにスキームを許すことでこれも一般化できる.これの実際的な主な影響は,連結成分有限指数 > 1 である部分群を許すことの他に標数 p ではスキームを許すことである. 詳細は「コクセター」を参照 詳細は一元」を参照 代数群とコクセターはいくつかの類似する結果がある例えば対称群元の個数n! であり有限体上の一般元の個数は q 階乗 [n]q! であるしたがって対称群は「1つ持つ上のかのように振る舞うこれは一元によって形式化されるこれはコクセター一元上の単純代数群と考える
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