ヒルベルト類体の英語

代数的整数論において，数体 K のヒルベルト類体（英: Hilbert class field）E とは，K の最大アーベル不分岐拡大である．その K 上の次数は K の類数に等しく，E の K 上のガロワ群は K の素イデアルに対するフロベニウス元を用いて K のイデアル類群に自然に同型である． この文脈では，K のヒルベルト類体は（古典的なイデアル論的解釈で）有限素点おいて不分岐であるだけでなく，K の無限素点においても不分岐である．つまり，K のすべての実埋め込みは E の実埋め込み（複素埋め込みではなく）に拡張する． 与えられた数体 K に対する（狭義）ヒルベルト類体の存在は David Hilbert (1902) により予想され，フィリップ・フルトヴェングラーによって証明された．ヒルベルト類体の存在は与えられた体のイデアル類群の構造の研究において貴重な道具である． ヒルベルト類体 E は以下も満たす： 実は，E は一，二，四番目の性質を満たす一意的な体である． K が虚二次体で A が K の整数環によって虚数乗法を持つ楕円曲線のとき，A の j 不変量を K に添加するとヒルベルト類体を得る． 類体論において，（アルキメデス的なものも含んでよい）素イデアルの形式的な積である与えられたモジュラスに関する射類体を研究する．射類体はモジュラスを割る素点の外で不分岐でモジュラスを割る素点である分岐条件を満たす最大アーベル拡大である．するとヒルベルト類体は自明なモジュラス 1 についての射類体である． 狭義類体はすべての無限素点からなるモジュラスについての射類体である．例えば，上の議論は Q(√3, i) が Q(√3) の狭義類体であることを示している． ヒルベルト類体を使うと次のような論法でイデアル類群の性質を調べることができる。