ラマヌジャンのタウ函数の英語

ラマヌジャンのタウ関数（ラマヌジャンのタウかんすう）は， Ramanujan (1916) によって研究された関数で，次の等式によって定義される関数 τ: N → Z である： ただし Im z > 0 なる z に対し q = exp(2πiz) であり，η はデデキントのイータ関数であり，関数 Δ(z) はラマヌジャンのデルタ関数と呼ばれる，ウェイト12，レベル1の正則尖点形式である．それは整数を24個の平方数の和として表す方法が何通りあるか、数えるときの「誤差項」に関連して現れる．イアン・G・マクドナルド (Ian G. Macdonald) による公式が Dyson (1972) において与えられた． タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（オンライン整数列大辞典の数列 A000594）： Ramanujan (1916) は τ(n) の次の3つの性質を観察したが証明はしなかった： 最初の2つの性質は Mordell (1917) によって証明され，ラマヌジャン予想と呼ばれる3つ目は，Deligne により1974年にヴェイユ予想の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）． k ∈ Z と n ∈ Z>0 に対して，σk(n) を n の約数の k 乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが σk(n) を用いて表せる．いくつかを挙げる： 素数 p ≠ 23 に対して，次が成り立つ： f はウェイト k の integer newform でありフーリエ係数 a(n) は整数であるとする．次の問題を考える： f が虚数乗法をもたないとき，ほとんどすべての素数 p は a ( p ) ≠ 0 mod p {\displaystyle a(p)\neq 0{\bmod {p}}} という性質を持つことを証明せよ．実際，多くの素数はこの性質を持たなければならず，したがってそれらは ordinary と呼ばれる．ドリーニュとセールによってガロワ表現について大きな進展があり，p と互いに素な n に対して a(n) mod p が決定されたが，a(p) mod p の計算方法の手掛かりは得られていない．この点での唯一の定理はエルキースのモジュラー楕円曲線に対する有名な結果であり，それは確かに無限個の素数 p に対して a(p) = 0 でありしたがって 0 mod p であることを保証する．無限個の素数 p に対して a(p) ≠ 0 mod p なるウェイト > 2 の虚数乗法を持たない f の例は知られていない（ほとんどすべての p に対しては正しいのであるが）．無限個の p に対して a(p) = 0 mod p であるような例もまた知られていない．本当に無限個の p に対して a(p) = 0 mod p であるのかどうか疑い始めた人々もいた．証拠として多くの人は（ウェイト 12 の）ラマヌジャンの τ(p) を挙げた．τ(p) = 0 mod p であることが分かっている最大の p は p = 7758337633 である．方程式 τ(p) ≡ 0 mod p の解は 1010 まででは p = 2, 3, 5, 7, 2411, 7758337633 のみである． Lehmer (1947) はすべての n に対して τ(n) ≠ 0 であると予想し，これはレーマーの予想と呼ばれることもある．レーマーは n < 214928639999 に対して予想が正しいことを証明した (Apostol 1997, p. 22)．次の表はこの条件がいくつまでの n について成り立つかの進展をまとめたものである．