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位相幾何学という数学の分野において，レトラクション (retraction) とは，位相空間から部分空間への，その部分空間の全ての点の位置を保つ連続写像である．変位レトラクション (deformation retraction) は空間を部分空間に「連続的に縮める」という概念を捉える写像である． 絶対近傍レトラクト (absolute neighborhood retract, ANR) は特によく振る舞うタイプの位相空間である．例えば，すべての位相多様体は ANR である．すべての ANR は非常に単純な位相空間，CW複体，のホモトピー型を持つ． X を位相空間とし，A を X の部分空間とする．このとき連続写像 がレトラクション (retraction) であるとは，r の A への制限が A 上の恒等写像であること，つまりすべての a ∈ A に対して r(a) = a であるときにいう．同じことであるが， によって包含写像を表せば，レトラクションとは連続写像 r であって なるもの，つまり， r の包含との合成が A の恒等写像であるものをいう．定義により，レトラクションは X から A の全射であることに注意．部分空間 A はそのようなレトラクションが存在するときに X のレトラクト (retract) と呼ばれる．例えば，任意の空でない空間は明らかな方法で点にレトラクトする（定値写像がレトラクションとなる）．X がハウスドルフならば，A は X の閉集合でなければならない． r: X → A がレトラクションならば，合成 ι∘r は X から X への冪等連続写像である．逆に，任意の冪等連続写像 s: X → X が与えられると，終域の制限によって s の像の上へのレトラクションを得る． 連続写像 が空間 X の部分空間 A の上への変位レトラクション (deformation retraction) であるとは，すべての x ∈ X と a ∈ A に対して であるこという．言い換えると，変位レトラクションはレトラクションと X 上の恒等写像の間のホモトピーである．部分空間 A は X の変位レトラクト (deformation retract) と呼ばれる．変位レトラクションはホモトピー同値の特別な場合である． レトラクトは変位レトラクトとは限らない．例えば，空間 X の変位レトラクトとして一点を持つということは，X が弧状連結である（実は可縮である）ことを意味する． Note: 変位レトラクションの同値な定義は以下である．連続写像 r: X → A が変位レトラクションであるとは，それがレトラクションでありかつその包含との合成が X 上の恒等写像にホモトピックであるときにいう．この定式化において，変位レトラクションは X 上の恒等写像とそれ自身の間のホモトピーを伴っている． 変位レトラクションの定義において，さらにすべての t ∈ [0, 1] と a ∈ A に対して と仮定したとき，F を強変位レトラクション (strong deformation retraction) と呼ぶ．言い換えると，強変位レトラクションは，ホモトピーずっと A の点を固定したままにする．（Hatcher のように，これを変位レトラクションの定義にする著者もいる．） 例として，n 次元球面 Sn は Rn + 1 ∖ {0} の強変位レトラクトである；強変位レトラクションとして次の写像を取れる： 位相空間の写像 f: A → X が (Hurewicz) コファイブレーション (cofibration) であるとは，それが任意の空間への写像に対してホモトピー拡張性質を持つときにいう．これはホモトピー論の中心的な概念の1つである．コファイブレーション f は必ず単射であり，実は像への同相である．X がハウスドルフ（あるいは コンパクト生成弱ハウスドルフ空間）ならば，コファイブレーション f の像は X において閉である． すべての閉包含の中で，コファイブレーションは以下のように特徴づけられる．空間 X の閉部分空間 A の包含がコファイブレーションであることと以下は同値である．A は X の近傍変位レトラクト (neighborhood deformation retract) である，つまり，連続写像 u: X → I（ただし I = [0, 1]）で A = u−1(0) なるものと，ホモトピー H: X × I → X が存在して，すべての x ∈ X に対して H(x, 0) = x で，すべての (a, t) ∈ A × I に対して H(a, t) = a で，u(x) < 1 のときに h(x, 1) ∈ A となる． 例えば，CW複体の部分複体の包含はコファイブレーションである． n 次元球の境界，すなわち (n − 1) 次元球面は，球のレトラクトではない．（ブラウアーの不動点定理#ホモロジーを用いた証明を参照．） 位相空間 Y の閉部分集合 X が Y の近傍レトラクト (neighborhood retract) であるとは，X が X を含む Y のある開部分集合のレトラクトであるときにいう． C {\displaystyle {\mathcal {C}}} を位相空間のクラスであって同相と閉部分集合について閉じているものとする．Borsuk に従って（1931年に始まった），空間 X がクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} について絶対レトラクト (absolute retract) であるとは，X が C {\displaystyle {\mathcal {C}}} に属しており，X が C {\displaystyle {\mathcal {C}}} に属する空間 Y の閉部分集合であるときにはいつでも X は Y のレトラクトであることをいう．このとき A R ( C ) {\displaystyle \mathrm {AR} ({\mathcal {C}})} と書く．空間 X がクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} について絶対近傍レトラクト (absolute neighborhood retract) であるとは，X が C {\displaystyle {\mathcal {C}}} に属しており，X が C {\displaystyle {\mathcal {C}}} に属する空間 Y の閉部分集合であるときにはいつでも X は Y の近傍レトラクトであることをいう．このとき A N R ( C ) {\displaystyle \mathrm {ANR} ({\mathcal {C}})} と書く． 正規空間のような様々なクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} がこの定義において考えられてきたが，距離化可能空間のクラス M {\displaystyle {\mathcal {M}}} が最も満足のいく理論を与えることが分かっている．そのため，ノーテーション AR と ANR それら自身は本項で A R ( M ) {\displaystyle AR({\mathcal {M}})} と A N R ( M ) {\displaystyle ANR({\mathcal {M}})} を意味するために用いられる． 距離化可能空間が AR であることと可縮かつ ANR であることは同値である．Dugundji によって，すべての局所凸距離化可能線型位相空間 V は AR である；より一般に，そのようなベクトル空間 V のすべての空でない凸部分集合は AR である．例えば，任意のノルム空間（完備であってもなくても）は AR である．より具体的に，ユークリッド空間 Rn, 単位立方体 In, ヒルベルト立方体 Iω は AR である． ANR たちは「行儀のよい」位相空間の注目すべきクラスをなす．それらの性質のいくつかは：