数学において,O
加群の
層 (
sheaf of O-modules)
あるいは単に環付き
空間 (X, O)
上の O
加群 (O-module) とは,
層 F であって,X の
任意の開部分集合 U
に対し,F(U) が O(U)
加群であり,
制限写像 F(U) → F(V) が
制限写像 O(U) → O(V) と
整合的なもの,
すなわち O(U) の
任意の f と F(U) の
任意の s
に対し,
fs の
制限が f の
制限と s の
制限との
積であるものである.
標準的な場合は X が
スキームで O がその
構造層であるとき
である.O が
定数層 Z _ {\displaystyle {\
underline {\mathbf {Z} }}}
のとき,O
加群の
層は
アーベル群の
層(
すなわちアーベル層)
と同じである. X が
環 R の
素スペクトルであるとき,
任意の R
加群は
自然に OX 加群を
定義する(
associated sheaf と呼ばれる).
同様に,R が
次数環で X が R の Proj
であるとき,
任意の次数加群は
自然に OX 加群を
定める.
そのように生じる O
加群は
準連接層の
例であり,
実は,アファイン
あるいは射影スキーム上,
すべての準連接層は
このようにして得られる.
環付き
空間上の加群の
層は
アーベル圏をなす.
さらに,この
圏は
充分単射的対象を
持ち,
したがって層係数コホモロジー H i ( X , − ) {\displaystyle \
operatorname {H} ^{i}(X,-)} を
大域切断関手 Γ ( X , − ) {\displaystyle \
Gamma (X,-)} の i
次右導来関手として定義でき,
実際そう
定義する. (X, O) を
環付き
空間とする.F と G が O
加群のとき,
それらのテンソル積は, と表記され,
前層 U ↦ F ( U ) ⊗ O ( U ) G ( U ) {\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U)}
に伴う層である O
加群である.(
層化が
避けられないことを
見るには, O ( 1 ) ⊗ O ( − 1 ) = O {\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O} の
大域切断を
計算せよ,
ここで O(1) は
射影空間上のセールの
捩り層である.)
同様に,F と G が O
加群のとき, は
層 U ↦
Hom O | U ( F | U , G | U ) {\displaystyle U\mapsto \
operatorname {
Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}
である O
加群を表す.
とくに,O
加群 は F の
双対加群と
呼ばれ, F ˇ {\displaystyle {\
check {F}}} と
表記される.
注意:
任意の O
加群 E, F
に対し,
自然な準同型 が
存在し,E が
階数有限の局所自由層であるとき,
これは同型である.
とくに,L が
階数 1 の
局所自由であるとき(
そのような L は
可逆層あるいは直線束と呼ばれる),
これは となり,
したがって可逆層の同型類たちは群をなす.この
群は X の
ピカール群と
呼ばれ,
一次コホモロジー群 H 1 ( X , O ∗ ) {\displaystyle \
operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})} と(チェックコホモロジー
による標準的な議論によって)
カノニカルに
同一視される. E が
階数有限の局所自由層であれば,
ペアリングによって与えられる O
線型写像 E ˇ ⊗ E ≃
End O ( E ) → O {\displaystyle {\
check {E}}\otimes E\simeq \
operatorname {
End} _{O}(E)\
to O}
がある;
それは E の
跡写像と呼ばれる.
任意の O
加群 F
に対し,F の
テンソル代数,
外積代数,
対称代数が
同じように定義される.
例えば,k
次外冪 は
前層 U ↦ ∧ O ( U )
k F ( U ) {\displaystyle U\mapsto \
wedge _{O(U)}^{k}F(U)}
に伴う層である.F が
階数 n で
局所自由ならば, ∧
n F {\displaystyle \
wedge ^{n}F} は F の
行列式直線束と
呼ばれ(
技術的には
可逆層であるが),
det(F) と
書かれる.
自然な完全対 がある. f: (X, O) →(X', O') を
環付き
空間の射とする.F が O
加群のとき,
順像層 f ∗ F {\displaystyle f_{*}F} は
自然な写像 O' →
f*O
により O'
加群である(
そのような自然な写像は
環付き
空間の射の
データの一部である). G が O'
加群であるとき,G の
逆像 f ∗ G {\displaystyle f^{*}G}
である加群は
加群の
テンソル積として与えられる O
加群である:
ただし f−
1G は G の
逆像層であり, f − 1 O ′ → O {\displaystyle f^{-1}O'\
to O} は O ′ → f ∗ O {\displaystyle O'\
to f_{*}O} から
随伴によって得られる. f ∗ {\displaystyle f_{*}} と f ∗ {\displaystyle f^{*}}
の間には
随伴の関係がある:
任意の O
加群 F と O′
加群 G
に対して,
アーベル群として が
成り立つ.
projection formulaもある: O
加群 F と
階数有限の局所自由 O′
加群 E
に対して, が
成り立つ. (X, O) を
環付き
空間とする.O
加群 F が
大域切断によって生成される (
generated by global sections) とは,O
加群の
全射 が存在することをいう.
明示的には
これは,F の
大域切断 si であって,
各茎 Fx に
おける si の
像たちが
Fx を
Ox 加群として生成するもの
が存在すること
を意味する.
そのような層の例は
代数幾何学において任意の可換環の
スペクトル Spec(R)
上に R
加群 M を
付随させるものである.
別の例:
カルタンの
定理A
により,
シュタイン多様体上の任意の連接層は
大域切断によって張られる(
cf. 下記の
セールの
定理A).
スキームの
理論において,
関連する概念は
豊富な直線束である.(
例えば,L が
豊富な直線束であれば,
それのある
冪が
大域切断によって生成される.)
移入 O
加群は
脆弱である(
すなわちすべての制限写像 F(U) → F(V) が
全射である).
脆弱層は
アーベル層の圏において非輪状であるから,
これは次のことを意味する:O
加群の
圏に
おける大域切断関手 Γ ( X , − ) {\displaystyle \
Gamma (X,-)} の i
次右導来関手が
アーベル層の圏に
おける通常の i
次層コホモロジーと一致する. M を
環 A
上の加群とする.X =
Spec A
とおく.
任意の対 D ( f ) ⊂ D ( g ) {\displaystyle D(f)\
subset D(g)}
に対して,
局所化の
普遍性により, ρ g , f = ρ g , h ∘ ρ h , f {\displaystyle \
rho _{g,f}=\
rho _{g,h}\
circ \
rho _{h,f}} なる
性質を
持つ自然な写像 が存在する.
すると は
対象が
集合 D(f) で
射が
集合の包含である圏から
アーベル群の
圏への
反変関手である.
それは実は B-層(
すなわち貼り合わせの
公理を満たす)
であり,
したがって M に
付随する層と呼ばれる X
上の層 M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} を
定義すること
を示すこと
ができる.
最も基本的な例は X
上の構造層,
すなわち O X =
A ~ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}
である.
さらに, M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} は
O X =
A ~ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}} の
構造を
持ち,
したがって A
上の加群の
圏 ModA から
O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
上の加群の
圏への
完全関手 M ↦ M ~ {\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}} を
得る.
それは ModA から X
上の準連接層の
圏への
同型を
定義し,
逆射は
大域切断関手 Γ ( X , − ) {\displaystyle \
Gamma (X,-)}
である.X が
ネーター的スキームのときには,
関手は
有限生成 A
加群の
圏から X
上の連接層の
圏への
同型である.
構成は
以下の
性質を
持つ:
任意の A
加群 M, N
に対し,
前の節の
構成と
同値の次数付きの類似がある.R を
R0 代数(
R0 は
次数 0
部分)
として次数 1 の
元で
生成される次数環とし,M を
次数 R
加群とする.X を R の Proj
とする(
したがって X は
射影スキームである).
するとある O
加群 M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} が
存在して,R
の次数が
正の任意の斉次元 f
に対して,アフィンスキーム { f ≠ 0 } =
Spec ( R [ f − 1 ] 0 ) {\displaystyle \{f\neq 0\}=\
operatorname {
Spec} (R[f^{-1}]_{0})}
上の加群の
層として自然な同型 がある;
実際,
これは M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} を
貼り合わせによって定義している.
例:R(1) を R(1)
n = Rn+1 によって与えられる次数 R
加群とする.
このとき O ( 1 ) = R ( 1 ) ~ {\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}} は
セールの
捩り層と呼ばれる(
自然直線束の
双対である)
. F が X
上の O
加群のとき, F ( n ) = F ⊗ O ( n ) {\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)} と
書けば,
標準的な準同型 が
存在し,
これが同型であることと F が
準連接であることは
同値である.
詳細は「
層係数コホモロジー」を
参照 層コホモロジーは
計算が
難しいことに
定評がある.
そのため,
次の一般的な事実はどんな実際の計算に対しても
基本的である:
定理 ― X を
位相空間とし,F を
その上の
アーベル群の
層とし, U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} を X の
開被覆であって
H i (
U i 0 ∩ ⋯ ∩
U i p , F ) = 0 {\displaystyle \
operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\
cap \cdots \
cap U_{i_{p}},F)=0} が
すべての i, p,
U i j ∈ U {\displaystyle U_{i_{j}}\
in {\mathfrak {U}}}
に対して成り立つものとする.
このとき任意の i
に対して が
成り立つ.
ただし右辺は i
次チェックコホモロジー
である.
セールの
定理A
により,X が
射影多様体で F が
その上の
連接層のとき,
十分大きい n
に対して,F(n) は
有限個の大域切断によって生成される.
さらに, (X, O) を
環付き
空間とし,F, H を X
上の O
加群の
層とする.H の F
による拡大 (
extension) とは,O
加群の
短完全列 である.
群の
拡大と同様,F と H を
固定すれば,H の F
による拡大の
同値類全体は
アーベル群をなし(
cf. Baer和),この
群は
Ext 群 E x t O 1 ( H , F ) {\displaystyle \mathrm {
Ext} _{O}^{1}(H,F)} と
同型で,
単位元は
自明な拡大と
対応する. H が O
のとき次が
成り立つ.
すべての i ≥ 0
に対して なぜならば両辺と
も同じ関手 Γ ( X , − ) =
Hom O ( O , − ) {\displaystyle \
Gamma (X,-)=\
operatorname {
Hom} _{O}(O,-)} の
右導来関手だからである.
注意:
著者によっては(
特にハーツホーン),
添え字 O を
書かない. X を
ネーター環上の射影スキームとする.F, G を X
上の連接層とし,i を
整数とする.
するとある n0 が
存在して となる. 「local-to-global
Ext spectral sequence」も
参照