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Weblio 辞書 > 英和辞典・和英辞典 > 英和対訳 > sheaf of O-modulesの意味・解説 

sheaf of O-modulesとは 意味・読み方・使い方

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意味・対訳 数学において、O 加群の層 あるいは単に環付き空間 (X、O) 上の O 加群 とは、層 F であって、X の任意の開部分集合 U に対し


Weblio英和対訳辞書での「sheaf of O-modules」の意味

sheaf of O-modules

加群
数学において,O 加群 (sheaf of O-modules) あるいは単に環付空間 (X, O) 上の O 加群 (O-module) とは, F であって,X の任意の部分集合 U に対し,F(U) が O(U) 加群であり制限写像 F(U) → F(V) が制限写像 O(U) → O(V) と整合的なもの,すなわち O(U) の任意の f と F(U) の任意の s に対しfs制限が f の制限と s の制限とのであるものである標準的な場合は X がスキームで O がその構造であるときである.O が定数 Z _ {\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}} のとき,O 加群アーベル群すなわちアーベルと同じである. X が R のスペクトルであるとき,任意の R 加群自然に OX 加群定義するassociated sheaf と呼ばれる).同様に,R が次数で X が R の Proj であるとき,任意の次数加群自然に OX 加群定めるそのように生じる O 加群連接層であり実は,アファインあるいは射影スキームすべての連接層このようにして得られる環付空間上の加群アーベルをなす.さらに,この充分単射対象持ちしたがって係数コホモロジー H i ⁡ ( X , − ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)} を大域切断関手 Γ ( X , − ) {\displaystyle \Gamma (X,-)} の i 導来関手として定義でき,実際そう定義する. (X, O) を環付空間とする.F と G が O 加群のときそれらのテンソル積は, と表記され,前層 U ↦ F ( U ) ⊗ O ( U ) G ( U ) {\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U)} に伴うである O 加群である.(層化避けられないことを見るには, O ( 1 ) ⊗ O ( − 1 ) = O {\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O} の大域切断計算せよ,ここで O(1) は射影空間上のセール捩りである.) 同様に,F と G が O 加群のとき, は U ↦ Hom O | U ⁡ ( F | U , G | U ) {\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})} である O 加群を表すとくに,O 加群 は F の双対加群呼ばれ, F ˇ {\displaystyle {\check {F}}} と表記される注意任意の O 加群 E, F に対し自然な準同型存在し,E が階数有限の局所自由であるとき,これは同型であるとくに,L が階数 1 の局所自由であるとき(そのような L は可逆あるいは直線束と呼ばれる),これは となり,したがって可逆層の同型たちは群をなす.このは X のピカール呼ばれ一次コホモロジー H 1 ⁡ ( X , O ∗ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})} と(チェックコホモロジーによる標準的な議論によってカノニカル同一視される. E が階数有限の局所自由であればペアリングによって与えられる O 線型写像 E ˇ ⊗ E ≃ End O ⁡ ( E ) → O {\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O} があるそれは E の写像と呼ばれる任意の O 加群 F に対し,F のテンソル代数外積代数対称代数同じように定義される例えば,k 前層 U ↦ ∧ O ( U ) k F ( U ) {\displaystyle U\mapsto \wedge _{O(U)}^{k}F(U)} に伴うである.F階数 n で局所自由ならば, ∧ n F {\displaystyle \wedge ^{n}F} は F の行列式直線束呼ばれ技術的に可逆であるが),det(F) と書かれる自然な完全 がある. f: (X, O) →(X', O') を環付空間のとする.F が O 加群のとき f ∗ F {\displaystyle f_{*}F} は自然な写像 O' →f*O により O' 加群であるそのような自然な写像環付空間のデータの一部である). G が O' 加群であるとき,G の逆像 f ∗ G {\displaystyle f^{*}G} である加群加群テンソル積として与えられる O 加群であるただし f−1G は G の逆像であり, f − 1 O ′ → O {\displaystyle f^{-1}O'\to O} は O ′ → f ∗ O {\displaystyle O'\to f_{*}O} から随伴によって得られる. f ∗ {\displaystyle f_{*}} と f ∗ {\displaystyle f^{*}} の間に随伴の関係がある任意の O 加群 F と O′ 加群 G に対してアーベル群として成り立つprojection formulaもある: O 加群 F と階数有限の局所自由 O′ 加群 E に対して, が成り立つ. (X, O) を環付空間とする.O 加群 F が大域切断によって生成される (generated by global sections) とは,O 加群全射 が存在することをいう.明示的にはこれは,F の大域切断 si であって, Fxおける siたちが FxOx 加群として生成するものが存在することを意味するそのような層の代数幾何学において任意の可換環スペクトル Spec(R) 上に R 加群 M を付随させるものである別のカルタン定理Aによりシュタイン多様体上の任意の連接層大域切断によってられる(cf. 下記のセール定理A).スキーム理論において関連する概念豊富な直線束である.(例えば,L が豊富な直線束であればそれのある大域切断によって生成される.) 移入 O 加群脆弱であるすなわちすべての制限写像 F(U) → F(V) が全射である).脆弱アーベル層のにおいて輪状であるからこれは次のことを意味する:O 加群おける大域切断関手 Γ ( X , − ) {\displaystyle \Gamma (X,-)} の i 導来関手アーベル層のおける通常の i コホモロジーと一致する. M を A 上の加群とする.X = Spec A とおく任意の D ( f ) ⊂ D ( g ) {\displaystyle D(f)\subset D(g)} に対して局所普遍性により, ρ g , f = ρ g , h ∘ ρ h , f {\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}} なる性質持つ自然な写像 が存在するすると対象集合 D(f) で集合の包含であるからアーベル群への反変関手であるそれは実は B-層すなわち貼り合わせ公理を満たすでありしたがって M に付随すると呼ばれる X 上の M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} を定義することを示すことができる最も基本的なは X 上の構造すなわち O X = A ~ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}} であるさらに, M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} は O X = A ~ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}} の構造持ちしたがって A 上の加群 ModA から O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 上の加群への完全関手 M ↦ M ~ {\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}} を得るそれは ModA から X 上の連接層への同型定義し,大域切断関手 Γ ( X , − ) {\displaystyle \Gamma (X,-)} である.X がネータースキームのときには,関手有限生成 A 加群から X 上の連接層への同型である構成以下性質持つ任意の A 加群 M, N に対し前の節構成同値の次付きの類似がある.R を R0 代数R0次数 0 部分として次数 1 の生成される次数とし,M を次数 R 加群とする.X を R の Proj とするしたがって X は射影スキームである).するとある O 加群 M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} が存在して,R の次正の任意の斉次 f に対して,アフィンスキーム { f ≠ 0 } = Spec ⁡ ( R [ f − 1 ] 0 ) {\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})} 上の加群として自然な同型 がある実際これは M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} を貼り合わせによって定義している:R(1) を R(1)n = Rn+1 によって与えられる次数 R 加群とするこのとき O ( 1 ) = R ( 1 ) ~ {\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}} はセール捩りと呼ばれる自然直線束双対である. F が X 上の O 加群のとき, F ( n ) = F ⊗ O ( n ) {\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)} とけば,標準的な準同型存在し,これが同型であることと F が連接であること同値である詳細は係数コホモロジー」を参照 コホモロジー計算難しいこと定評があるそのため次の一般的な事実はどんな実際の計算に対して基本的である定理 ― X を位相空間とし,F をその上アーベル群とし, U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} を X の開被覆であって H i ⁡ ( U i 0 ∩ ⋯ ∩ U i p , F ) = 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0} がすべての i, p, U i j ∈ U {\displaystyle U_{i_{j}}\in {\mathfrak {U}}} に対して成り立つものとするこのとき任意の i に対して成り立つただし右辺は i チェックコホモロジーであるセール定理Aにより,X が射影多様体で F がその上連接層のとき十分大きい n に対して,F(n) は有限個の大域切断によって生成されるさらに, (X, O) を環付空間とし,F, H を X 上の O 加群とする.H の F による拡大 (extension) とは,O 加群完全 である拡大と同様,F と H を固定すれば,H の F による拡大同値類全体アーベル群をなし(cf. Baer),このExt E x t O 1 ( H , F ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)} と同型で,単位元自明な拡大対応する. H が O のとき成り立つすべての i ≥ 0 に対して なぜならば両辺も同じ関手 Γ ( X , − ) = Hom O ⁡ ( O , − ) {\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-)} の導来関手だからである注意著者によっては特にハーツホーン),添え字 O をかない. X をネーター環上の射影スキームとする.F, G を X 上の連接層とし,i を整数とするするとある n0 が存在して となる. 「local-to-global Ext spectral sequence」も参照
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