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Lie algebra extensionとは 意味・読み方・使い方

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意味・対訳 リー群論、リー環論、およびそれらの表現論において、リー環の拡大 e とは、与えられたリー環 g を別のリー環 h によって「拡大」することである.拡大はいろいろな方法で生じる.2つのリー環の直和を取ることによって得られる自明な拡大 がある.別の種類の拡大は分裂拡大 や中心拡大 である.拡大は


Weblio英和対訳辞書での「Lie algebra extension」の意味

Lie algebra extension

リー拡大
リー群リーおよびそれらの表現論においてリー拡大 (Lie algebra extension) e とは,与えられたリー g を別のリー h によって拡大することである.拡大はいろいろな方法で生じる2つのリー直和を取ることによって得られる自明な拡大 (trivial extension) がある別の種類拡大分裂拡大 (split extension) や中心拡大 (central extension) である拡大は,例えば射影群表現からリーを作るときに自然に生じるそのようなリー中心電荷持つ. w 有限次元単純リー上の多項式ループ代数から始めて2つの拡大中心拡大微分による拡大施すと,untwisted アファインカッツ・ムーディ代数同型リー得る中心拡大したループ代数を用いて2次元時空カレント代数構成できる.ヴィラソロ代数はヴィット代数の普遍中心拡大である中心拡大物理学必要されるなぜならば量子化された対称性を表す通常古典的な対称変換の中心拡大であり同様に量子系対応する symmetry リー一般に古典的な symmetry algebra の中心拡大であるからである.カッツ・ムーディ代数統一超弦理論対称変換である予想されている中心拡大されたリー場の量子論特に共形場理論弦理論M理論において支配的な役割を果たす後半の大部分はリー拡大実際有用である分野である数学物理学双方での応用背景資料かれているかっこつきリンク,(背景資料),はそれが有益であろうところで提供されるリー対応のため理論は,したがってリー拡大の歴史は,拡大理論歴史密接に関係している拡大系統的研究オーストリアの数学者オットー・シュライアー (Otto Schreier) によって1923彼の PhD 論文後に出版においてされた.オットー・ヘルダー (Otto Hölder) によってシュライアー論文のためにされた問題は次のものであった:「2つの G と H が与えられたとき, E であって G と同型正規部分群 N を持ち剰余 E/N が H と同型であるものをすべて求めよ.」 リー拡大無限次元リー対して最も興味深く有用である.1967ヴィクトル・カッツ (Victor Kac) とロバート・ムーディ (Robert Moody) は独立に古典的なリー概念一般化し,今ではカッツ・ムーディ代数と呼ばれる無限次元リー新しい理論を拓いた.それらは有限次元単純リー一般化し,しばしば拡大として具体的に構成できる以下では次のような記号の濫用用いられる指数写像 exp引数与えられたとき eX, 直積 G × H の (g, eH) を g(eH は H の単位元),リー直和も同様さらに g + h = (g, h) と書かれる).半直積直和についても同様標準的単射リー両方)は暗黙の同一視のために用いられるさらに.G, H, ..., がであれば,G, H, ..., の元のデフォルト名前は g, h, ..., でありそれらのリーは g, h, ... である.g, h, ..., の元のデフォルト名前は G, H, ... でありと同じ!),乏しいアルファベット資源を節約する意味もあるが,主に統一的な表記のためである拡大材料となるリーは,何も言わずに同じ上のものが取られる総和規約使われ,上下両方の添え字に関わる場合もある警告以下の証明証明概略のすべて普遍的な有効性を持っているわけではない主な理由はリーしばしば無限次元であるために,リーに対応するリー群ないかしれないからであるさらにそのような存在したとしても,「通常の性質を持っているとは限らず例えば指数写像があるとは限らず,もしあっても「通常の性質すべて持たないかもしれないそのような場合には,を「リー群と呼ぶべきかどうか疑わしい文献画一的でない明示的にはたぶん妥当な構造適切な位置書かれるリー拡大完全を用いて定式化される完全とは,長さ3の完全 h ↪ i es g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}} () であって,i が単射で,s が全射で,ker s = im i なるものである完全列のこれら性質から,h(の)が e のイデアルであること従うさらにであるが,g が e の部分環同型であるとは限らない.この構成拡大という密接に関連した概念おける類似の構成反映している. 同じ上のリー対して完全 (1) が成り立っているとき,e は g の h による拡大であるという定義性質言い換えられる.リー e が g の h による拡大であるとは, 0 ↪ ι h ↪ i es g ↠ σ 0 {\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0} () が完全であることをいう.ここで両端の 0 は(零ベクトル 0 のみからなるリーし,写像明らかなものであるつまり,ι は 0 を 0 に写し,σ は g のすべてのを 0 に写す.この定義では,i が単射で s が全射であること自動的に従う. g の h による拡大一意とは限らない.e, e′ を2つの拡大とし,以下プライム明らかな意味で用いるこのときリー同型 f: e → e′ であって なるものが存在するとき,拡大 e と e′ は同値拡大であるいわれる拡大同値性同値関係であるリー拡大自明とは,部分空間 i であって,t = iker s かつ i は t のイデアルとなるものが存在することをいう. リー拡大分裂とは,部分空間 u であって,ベクトル空間として s = uker s かつ,u が s の部分代数となるものが存在することをいう. イデアル部分代数だが,部分代数イデアルとは限らないしたがって自明な拡大分裂拡大であるリー g の可換リー a による中心拡大は,g 上のいわゆる自明な)2-コサイクル(背景)の助けを借りて得ることができる自明な 2-コサイクルはリー群射影表現背景)の文脈現れるこのこと読み進めそれとなく言及されるリー拡大中心拡大とは,ker s が c の中 Z(c) に含まれることをいう. 中心拡大普遍とは,任意の他の中心拡大対して準同型 Ψ, Φ が存在して図式可換なること,すなわち i′ ∘ Ψ = Φ ∘ i, s′ ∘ Φ = s となることをいう. g, h を同じ K 上のリーとする. と定義し,e 上に加法点ごと定義するスカラー乗法によって定義されるこれら定義により,h × g ≡ h ⊕ g は F 上のベクトル空間である.リーブラケット [ ( H 1 , G 1 ) , ( H 2 , G 2 ) ] = ( [ H 1 , H 2 ] , [ G 1 , G 2 ] ) {\displaystyle [(H_{1},G_{1}),(H_{2},G_{2})]=([H_{1},H_{2}],[G_{1},G_{2}])} () により,e はリーであるさらに定義する.(1) が完全として成り立つことは明らかである.g の h によるこの拡大自明な拡大と呼ばれるこれはもちろんリー直和他ならない定義対称性により,e は h の g による拡大でもあるが,h ⊕ g ≠ g ⊕ h である.(3) から部分環 0 ⊕ g がイデアルであること明らかであるリー直和のこの性質自明な拡大定義昇格する. 準同型 G → Aut(H) を用いた半直積背景)の構成触発されて,リー対応する構成を作ることができる. ψ: g → der h がリー準同型であるとき,e = h ⊕ g 上のリーブラケットを [ ( H , G ) , ( H ′ , G ′ ) ] = [ H , H ′ ] + [ G , G ′ ] + ψ G ( H ) − ψ G ′ ( H ′ ) , H , H ′ ∈ h , G , G ′ ∈ g {\displaystyle [(H,G),(H',G')]=[H,H']+[G,G']+\psi _{G}(H)-\psi _{G'}(H'),\quad H,H'\in {\mathfrak {h}},\;G,G'\in {\mathfrak {g}}} () で定義する.このリーブラケットにより得られるリーe = hS gかれ,h と g の直和と呼ばれる. (7) を検査して 0 ⊕ g は e の部分環であり h ⊕ 0 は e のイデアルであること分かる.i: h → e を H ↦ H ⊕ 0 によって,s: e → g を H ⊕ G ↦ G, H ∈ h, G ∈ g によって定義するker s = im i明らかであるしたがって e は g の h による拡大である自明な拡大と同様に,この性質分裂拡大定義一般化する. G をローレンツ O(3, 1) とし,T を (ℝ4, +) と同型4次元平行移動とし,ポワンカレ P の乗法規則考える: (ただし T と SO(3, 1) は P におけるそれらの同一視される).ポワンカレにおいて (0, Λ)(a, I)(0, Λ−1) = (Λ a, I) ∈ T ⊂ P であること直ちに従うしたがってすべてのローレンツ変換 Λ は逆写像が ΦΛ−1 の T の自己同型 ΦΛ に対応し,Φ は明らかに準同型であるさて と定義し,乗法を (4) で与える定義解きほぐすことで乗法最初の乗法と同じであることが分かりP = P であること従う.(5') より ΨΛ = AdΛ なので (6') より ψλ = adλ. λ ∈ o(3, 1) である. δ を g の背景)とし,h で δ でられる1次元リーを表すe = h ⊗ g 上のリーブラケットを によって定義するブラケット定義から g が e のイデアルで h が e の部分環であること明らかであるさらに,h は e において g に complementary である.i: h → e を H ↦ (H, 0) で与え,s: e → g を (H, G) ↦ G で与えるim i = ker s は明らかであるしたがって e は g の h による分裂拡大であるそのような拡大による拡大と呼ばれる. ε がリー g 上の 2-コサイクル(背景)で,h が任意の1次元ベクトル空間であるとき,e = h ⊕ g(直和)とし,e 上のリーブラケットを で定義するここで H は h の任意に1つ固定されたである反対称性は g 上のリーブラケットの反対称性と 2-コサイクルの反対称性から従うヤコビは g と ε の対応する性質から従うしたがって e はリーであるG1 = 0 とおき,μH ∈ Z(e) が従う.また,i: μH ↦ (μH, 0) と s: (μH, G) ↦ G により Im i = ker s = {(μH, 0):μ ∈ F} ⊂ Z(e) が従うしたがって e は g の h による中心拡大であるそれは 2-コサイクルによる拡大と呼ばれる以下に中心拡大と 2-コサイクルに関するいくつかの結果を述べる自明な 2-コサイクルは自明な拡大与え,2-コバウンダリは自明な 2-コサイクルとコホモロガスだから, d がであること証明 d が実際にであること確かめるには,まず,それは ν がだからであること注意して計算する: K の退化により最左右辺で K の左の引数等しい対称退化結合形式 K と 2-コサイクル φ が与えられると, d を によってあるいは K の対称性と φ の反対称性を用いて によって定義できるという観察導く. g がリー群 G のリーで e が g の中心拡大であるとき,リーが e のリー群 E が存在するかどうか問うことができる答えは,リー第三定理により肯定的であるしかしリーが e の G の"中心拡大" E は存在するだろうか? この問いへの答えはある機械が必要で,Tuynman & Wiegerinck (1987, Theorem 5.4) に見つけることができる上述の定理の「否定的」な結果は少なくとも単純リー対しては,中心拡大有用な応用を見つけるには無限次元リー行かなければならないことを示している実際そのようなものはある.ここではアファイン・カッツ・ムーディ代数とヴィラソロ代数を紹介するこれらはそれぞれ多項式ループ代数とヴィット拡大である. g を多項式ループ代数背景とするただし g0 は複素有限次元単純リーである目標はこの代数の中心拡大を見つけることである.定理2つ適用する.1つには,g 上の 2-コサイクルが存在すれば中心拡大定義できる.もう1つには,この 2-コサイクルが g0 パート(のみ)に作用していれば,得られる拡大自明であるさらに,g0(のみ)に作用するは 2-コサイクルの定義使えないなぜならばこれらすべて内部的であり同じ問題が起こるからであるしたがって C[λ, λ−1] 上の探す1つそのような集合である. g 上の退化双線型結合反対称形式 L を作るために注意はまず,m, n を固定して引数制限向けられる.要求を満たす全て”の形式は g0 上のキリング形式 K の倍数であること定理である.これより でなければならない,K の対称性により であり結合性により である.l = 0 として γlm = γ0,l+m が分かる.この最後の条件前のんでいる.このことを用いて,f(n) = γ0,n と定義するすると定義方程式となるすべての i ∈ Z に対して定義実際対称結合双線型形式定義するしかしこれらはすべての形式正しい性質をもつベクトル空間基底をなす. 手元条件 に戻り定義を用いて分かるあるいはn = l + m として, これ(と反対称性条件)は,k = i ならば成り立つとくに k = i = 0 のとき成り立つしたがって L = L0 および d = d0選ぶこれら選択によりの前満たされる. で定義される 2-コサイクル φ が g の中心拡大定義するために最後にわれ,そのリーブラケットは である基底元に対して適切に正規化反対称構造定数により成り立つこれは多項式ループ代数普遍中心拡大である用語注意物理学の用語では,上の代数はカッツ・ムーディ代数通用するかもしれないが数学ではそうではないそのためには追加の次元による拡大が必要であるそれにもかかわらず物理への応用で,g0 の固有値あるいはその代表が(通常の量子数解釈されると,生成元の追加の superscriptレベルと呼ばれるそれは追加の量子数である固有値がちょうレベルである追加の作用素さらに以下で導入される詳細はカレント代数」を参照 多項式ループ代数の中心拡大応用として量子的場理論カレント代数考えられる背景).Suppose one has a current algebra, with the interesting commutator being [ J a 0 ( t , x ) , J b i ( t , y ) ] = i C a b c J c i ( t , x ) δ ( x − y ) + S a b i j ∂ j δ ( x − y ) + ⋯ , {\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+\dotsb ,} () with a Schwinger term. To construct this algebra mathematically, let g be the centrally extended polynomial loop algebra of the previous section with as one of the commutation relations, or, with a switch of notation (l→m, m→n, i→a, j→b, λm⊗GaTma) with a factor of i under the physics convention, Define using elements of g, One notes that so that it is defined on a circle. Now compute the commutator, For simplicity, switch coordinates so that y → 0, x → x − y ≡ z and use the commutation relations, Now employ the Poisson summation formula, for z in the interval (0, L) and differentiate it to yield and finally or since the delta functions arguments only ensure that the arguments of the left and right arguments of the commutator are equal (formally δ(z) = δ(z − 0) ↦ δ((x −y) − 0) = δ(x −y)). By comparison with CA10, this is a current algebra in two spacetime dimensions, including a Schwinger term, with the space dimension curled up into a circle. In the classical setting of quantum field theory, this is perhaps of little use, but with the advent of string theory where fields live on world sheets of strings, and spatial dimensions are curled up, there may be relevant applications. 前ので 2-コサイクル φ の構成において用いられた d0中心拡大された多項式ループ代数,カッツ・ムーディ代数実現するためここでは g と書く上の D に拡張できる背景).単純に とおく次にベクトル空間として定義する.e 上のリーブラケットは,との標準的な構成よれば基底与えられる便宜上, と定義するさらに有限次元単純リー基底構造係数すべての添え字反対称となるようとられ基底適切に正規化されていると仮定するこのとき定義より直ちに次の交換関係分かるこれらがちょうuntwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数の簡略記述である要約するため,有限次元単純リーからはじめる係数がその有限次元単純リー形式ローラン多項式の空間定義する対称退化交代双線型形式援助のうけ,2-コサイクルが定義され,続いて 2-コサイクルによる中心拡大標準的な処方箋用いられる.この新しい空間拡張し,による分裂拡大標準的な処方箋用いuntwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数得られる詳細は「ヴィラソロ代数」を参照 目的はミゲル・アンヘル・ヴィラソロによるヴィラソロ代数をヴィット代数 W(背景)の 2-コサイクル φ による中心拡大として構成することである.2-コサイクルのヤコビより成り立つ: ( l − m ) η n + m , p + ( m − n ) η m + n , l + ( n − l ) η l + n , m = 0 , η i j = φ ( d i , d j ) . {\displaystyle (l-m)\eta _{n+m,p}+(m-n)\eta _{m+n,l}+(n-l)\eta _{l+n,m}=0,\quad \eta _{ij}=\varphi (d_{i},d_{j}).} () l = 0 とし η の反対称性を用いて得る拡大において d0 に対する交換関係である右辺の中電荷を取り除くことが望ましいこのために定義するそして,f を 1-コチェインとして用いて, であるので,前の同値なこの 2-コサイクルにより, が成り立つ.この新しい 2-コサイクルによりプライムして)条件となりしたがって であるただし最後の条件はリーブラケットの反対称性による.これと l + m + p = 0(Z3 の「平面」を切り出すにより (V10) は となりp = 1(Z2 の「直線」を切り出すとして となるこれは一般にかれる差分方程式であるすると W の元の拡大おける交換子である.β = 0 のとき基底変換して(あるいは 2-コサイクルを 2-コバウンダリによって修正して) とでき,中心電荷全く現れず,したがって拡大自明である.(これは d0 のみがもともとの関係得た前の修正の場合では(一般には)ない.)β ≠ 0 のとき基底変換 により交換関係は の形で,m について部分自明であるそれはまた H2(W, C) が 1 次元である(β の選択に対応)ことも示している慣習的な選択は α = −β = 1/12 と取り任意の対象 C に任意の因子吸収することによって自由をなお保持するするとヴィラソロ代数 V は であり交換関係である詳細は「ボゾン弦理論」を参照 The relativistic classical open string (background) is subject to quantization. This roughly amounts to taking the position and the momentum of the string and promoting them to operators on the space of states of open strings. Since strings are extended objects, this results in a continuum of operators depending on the parameter σ. The following commutation relations are postulated in the Heisenberg picture. All other commutators vanish. Because of the continuum of operators, and because of the delta functions, it is desirable to express these relations instead in terms of the quantized versions of the Virasoro modes, the Virasoro operators. These are calculated to satisfy They are interpreted as creation and annihilation operators acting on Hilbert space, increasing or decreasing the quantum of their respective modes. If the index is negative, the operator is a creation operator, otherwise it is an annihilation operator. (If it is zero, it is proportional to the total momentum operator.) In view of the fact that the light cone plus and minus modes were expressed in terms of the transverse Virasoro modes, one must consider the commutation relations between the Virasoro operators. These were classically defined (then modes) as Since, in the quantized theory, the alphas are operators, the ordering of the factors matter. In view of the commutation relation between the mode operators, it will only matter for the operator L0 (for which m + n = 0). L0 is chosen normal ordered, where c is a possible ordering constant. One obtains after a somewhat lengthy calculation the relations If one would allow for m + n = 0 above, then one has precisely the commutation relations of the Witt algebra. Instead one has upon identification of the generic central term as (D − 2) times the identity operator, this is the Virasoro algebra, the universal central extension of the Witt algebra. The operator L0 enters the theory as the Hamiltonian, modulo an additive constant. Moreover, the Virasoro operators enter into the definition of the Lorentz generators of the theory. It is perhaps the most important algebra in string theory. The consistency of the Lorentz generators, by the way, fixes the spacetime dimensionality to 26. While this theory presented here (for relative simplicity of exposition) is unphysical, or at the very least incomplete (it has, for instance, no fermions) the Virasoro algebra arises in the same way in the more viable superstring theory and M-theory. 詳細は拡大」を参照 リー群 G の射影表現 Π(G)(背景)は,いわゆる拡大 Gex を定義するのに使うことができる量子力学においてウィグナー定理は,G が対称変換であるとき,それはユニタリあるいはユニタリ作用素によってヒルベルト空間射影的に表現されるということ述べているこれはしばしば,G の普遍被覆うつりそれを対称変換とることで扱われるこれは回転群 SO(3) やローレンツ O(3, 1) に対してうまくいくが,対称変換ガリレイのときうまくいかないこの場合その中心拡大であるバーグマンにうつらなければならないこれはシュレディンガー方程式対称変換である同様に,G = R2n, 位置運動量空間の平行移動のときその中心拡大であるハイゼンベルクにうつらなければならない. ω を Π から誘導される G 上の 2-コサイクルとする集合として定義し,乗法を で定義する結合性は ω が G 上の 2-コサイクルだから成り立つ単位元については成り立ち逆元である集合 (C*, e) は Gex の可換部分群であるこれは Gex が単純でないことを意味する.G の中 Z(G) = {z ∈ G|zg = gz ∀g ∈ G} はこの部分群を含む中心より大きいかもしれないリーレベルでは,Gex のリー gex はベクトル空間としては与えられリーブラケットは であることを示すことができるここで η は g 上の 2-コサイクルである.この 2-コサイクルはおおいに自明な方法ではあるが ω から得ることができる さて射影表現 Π を用いて写像 Πex を で定義できるそれは次の性質持つなので Πex(Gex) は Gex の本物の表現であるウィグナー定理文脈では,状況そのようなものとして描写できる(C* を U(1) でおきかえる);SHヒルベルト空間 H における単位球し,(·, ·) をその内とするPHray spaceし,[·, ·] で ray product を表すさらに矢印群作用を表すすると図式可換であるすなわち であるさらに,G が [·,·] を保つ PH対称性であると同様に,Gex は (·,·) を保つ SH対称性である.π2 のファイバーすべて円である.これらは U(1) の作用不変であるこれらファイバーへの U(1) の作用推移的固定点がない.結論はSHPH 上のファイバー束で,構造は U(1) である拡大適切に議論するためにはリー定義性質超えた構造が必要であるこれらについての基本的な事実クイック・リファレンスのためここにめられているリー g 上の微分)δ とは,写像 であって,ライプニッツ成り立つもののことである.リー g 上の全体の集合der g書かれるそれはそれ自身リーブラケット のもとでリーであるそれは g の自己同型 Aut g のリーである. を示さなければならない右側成り立てば,微分して t = 0 とおけば左側成り立つ左側 (A) が成り立てば,右側を と書き,この右辺微分するそれは,(A) を用いて恒等的に 0 であるしたがってこの右辺は t に依らず,t = 0 に対するその等しくこれはこの左辺である. G ∈ g ならば,adG1(G2) = [G1, G2] によって作用する adG はである集合 {adG : G ∈ g} は g 上の内部微分全体の集合である有限次元単純リー対してすべての微分内部微分である詳細は半直積」を参照 2つのリー群 G, H と,H の自己同型 Aut H考える後者は H の同型のであるリー群準同型 Φ: G → Aut Hあれば g ∈ G に対して,ある Φ(g) ≡ Φg ∈ Aut H存在して性質 Φgg' = ΦgΦg', g,g' ∈ G を持つ.E で"集合" H × G をし,乗法定義する: ( h , g ) ( h ′ , g ′ ) = ( h ϕ g ( h ′ ) , g g ′ ) , g , g ′ ∈ G , h , h ′ ∈ H . {\displaystyle (h,g)(h',g')=(h\phi _{g}(h'),gg'),\quad g,g'\in G,\;h,h'\in H.} () このとき E は単位元 (eH, eG) を持つであり逆元は (h, g)−1 = (Φg−1(h−1), g−1) によって与えられる逆元 (4) を用いて,H は E において正規であること分かる.この半直積によるE = HS G書く逆にE = HS G E の与えられた半直積表示ならば定義により H は E において正規であり g ∈ G に対して Cg(h) ∈ Aut H, ただし Cg(h) ≡ ghg−1, であり写像 Φ: g ↦ Cg準同型である. さてリー対応利用しよう写像 Φg: H → H, g ∈ G はそれぞれリーレベルで,写像 Ψg: h → h を誘導する.この写像は Ψ g ( G ) = d d t ϕ g ( e t G ) | t = 0 , G ∈ g , g ∈ G {\displaystyle \Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}\phi _{g}(e^{tG})\right|_{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}},\;g\in G} () によって計算される例えば,G と H がともに大きい E の部分群であり,Φg = ghg−1 であるとき, Ψ g ( G ) = d d t g e t G g − 1 | t = 0 = g G g1 = A d g ( G ) {\displaystyle \Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}ge^{tG}g^{-1}\right|_{t=0}=gGg^{-1}=\mathrm {Ad} _{g}(G)} () であり,Ψ を E の h 上の随伴作用 Ad を G に制限したものと認識する.さて Ψ: G → Aut h [ ⊂ GL(h) if h is finite-dimensional] は準同型であり,もう1リー対応訴え一意的リー準同型 ψ: g → Lie(Aut h) = Der h ⊂ gl(h) が存在する.この写像は(形式的には) ψ G = d d t Ψ e t G | t = 0 , G ∈ g {\displaystyle \psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\Psi _{e^{tG}}\right|_{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}}} () で与えられ,例えば,Ψ = Ad ならば,(形式的には) ψ G = d d t A d e t G | t = 0 = d d t e a d t G | t = 0 = a d G {\displaystyle \psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\mathrm {Ad} _{e^{tG}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}e^{\mathrm {ad} _{tG}}\right|_{t=0}=\mathrm {ad} _{G}} () であるただし Ad随伴作用 ad とのここで厳密に証明されている関係使われているリーは,ベクトル空間としてe = h ⊕ g であるこれは GH が E を生成し G ∩ H = (eH, eG) だから明らかである.リーブラケットは与えられる: リーブラケットの計算 リーブラケットを計算するため,s と t でパラメトライズされる E 内の曲面から始めるe = h ⊕ g 内の h のバーつけてし,g についても同様にする. であるであり 5 により であるから である.さてこの関係を t について微分し t = 0 で評価するであり 6 により であるから である詳細は代数的位相幾何学」、「コホモロジー」、およびリーコホモロジー」を参照 現在の目的理論限られた部分考察には,リーコホモロジー十分である定義最も可能な一般的なものではなく最もよく使われるものでさえないが,それらの言い及ぶ対象はより一般の定義真正である主な興味対象は g 上の 2-コサイクルであり双線型交代関数 であって,ヤコビた 2-コサイクルのヤコビと呼ばれる性質持つものとして定義される. g 上のすべての 2-コサイクルの集合は Z2(g, F) と書かれる. ある 2-コサイクルは 1-コチェインから得ることができる.g 上の 1-コチェインは単に線型写像 f: g → F であるすべてのそのような写像集合C1(g, F) とかれ,もちろん少なくとも有限次元の場合には)C1(g, F) ≅ g* である.1-コチェイン f を用いて,2-コサイクル δf が によって定義できる交代性直ちに分かり,2-コサイクルのヤコビは(通常どおりそれを書き出し材料定義性質ここでは g 上のヤコビと f の線型性を用いて示される線型写像 は(ここでは C1(g, F) に制限されているが)コバウンダリ作用素と呼ばれるC1(g, F) の δ によるB2(g, F) と書く は g の第二コホモロジーと呼ばれるH2(g, F) のは 2-コサイクルの同値類であり二つの 2-コサイクル φ1, φ2 が同値なコサイクルであるとは,それらのが 2-コバウンダリであることすなわち φ1 = φ2 + δf となる f ∈ C1(g, F) があることをいう.同値な 2-コサイクルはコホモロガス (cohomologous) と呼ばれる.φ ∈ Z2(g, F) の同値類は [φ] ∈ H2書かれるこれら概念はいくつの方一般化される記事参照詳細は構造定数」を参照 B を g のハメル基底とするこのとき G ∈ g は適切な大きさのある添え字集合 A に対して一意的書ける.この表示において有限個のだけが 0 でない以下では簡単のため基底可算であり添え字にはラテン文字使われ,添え字集合は ℕ∗ = 1, 2, ... にとれると仮定するただちに基底元に対して分かるただしアインシュタイン規約を用いている.構造定数添え字配置か)は重要ではない次の定理有用である定理構造定数すべての添え字について反対称基底そんざいすることと,リー単純コンパクトリーと u(1) リー直和であること同値であるこれは g 上の実正計量 g であって不変性条件任意の基底について満たすものが存在することと同値である.この最後の条件場の量子論において非可換ゲージ理論物理的理由のため必要であるしたがって単純リーコンパクト上の Cartan catalogsl(n, C) → su(n) など)を用いて可能なゲージ理論無限リストを作ることができる.1つのそのようなゲージ理論標準模型の U(1) × SU(2) × SU(3) ゲージ理論でありそのリーは u(1) ⊕ su(2) ⊕ su(3) である詳細はキリング形式」を参照 キリング形式定義される g 上の対称双線型形式である: ここで adG はベクトル空間 g に作用する行列見なされる必要な大事な性質は,g が単純ならばカルタン判定法により K は退化であるということである.そのような場合 K は g と g∗ を同一視するのに使うことができる.λ ∈ g∗ ならば,ある ν(λ) = Gλ ∈ g が存在してとなるこれはリース表現定理似ており,証明実質的には同じであるキリング形式性質持ちこれは結合性と呼ばれる.gαβ = K[Gα,Gβ] と定義ブラケット構造定数により展開することでキリング形式上の不変性条件を満たすことが分かる詳細はループ代数およびループ」を参照 ループ単位円 S1 からリー群 G への滑らかな写像群構造を G 上の群構造によって定義したものとして取られるするとループリーS1 から G のリー g への写像ベクトル空間であるそのようなリー任意の部分環ループ代数と呼ばれるここでは注意次の形の多項式ループ代数当てられるリー導出 これを見るためにループ H に対して G の単位元の近く H(λ) で g の基底 {Gk} でされたもの を考えるただし hk(λ) は実数小さくは g の次 K を渡るさて と書いて得るしたがって関数リー構成する少し考えるとこれらは θ が 0 から 2π まで行くとき g 内のループであること確かめられる.演算は g の演算によって点ごと定義されるものである.この代数代数同型であるただし C[λ, λ−1] はローラン多項式の代数であり, と対応する.リーブラケットは であるこの後視点によりは(定数!)係数が g の多項式と考えることができる基底構造定数ことばでは, である異なる表記 をすることも一般的であるただし λ の省略混乱を避けるため心に留めておくべきである実際には関数 S1 → g であるするとリーブラケットは でありこれは以下で導入される untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数において中心"なし"の交換関係1つとして実現可能であるm = n = 0 として,g に同型部分代数得られる.(定義さかのぼることで分かるように)それは S1 から G への定数写像集合生成し,これは exp全射のときたとえば G がコンパクトのとき明らかに)G に同型である.G がコンパクトならば,g の基底 (Gk) を Gkエルミートであるように選ぶことができる結果としてであるそのような表現はユニタリと呼ばれるなぜならば代表 がユニタリだからであるここで,T の下添え字マイナス慣習であり規約使われ,λ は(定義により右辺の T たちに埋もれているカレント代数場の量子論において大域的ゲージ対称性の結果として生じるConserved currents occur in classical field theories whenever the Lagrangian respects a continuous symmetry. This is the content of Noether's theorem. Most (perhaps all) modern quantum field theories can be formulated in terns of classical Lagrangians (prior to quantization), so Noether's theorem applies in the quantum case as well. Upon quantization, the conserved currents are promoted to position dependent operators on Hilbert space. These operators are subject to commutation relations, generally forming an infinite-dimensional Lie algebra. A model illustrating this is presented below. To enhance the flavor of physics, factors of i will appear here and there as opposed to in the mathematical conventions. Consider a column vector Φ of scalar fields (Φ1, Φ2, ..., ΦN). Let the Lagrangian density be This Lagrangian is invariant under the transformation where {F1, F1, ..., Fr} are generators of either U(N) or a closed subgroup thereof, satisfying Noether's theorem asserts the existence of r conserved currents, where πk0 ≡ πk is the momentum canonically conjugate to Φk. The reason these currents are said to be conserved is because and consequently the charge associated to the charge density Ja0 is constant in time. This (so far classical) theory is quantized promoting the fields and their conjugates to operators on Hilbert space and by postulating (bosonic quantization) the commutation relations The currents accordingly become operators They satisfy, using the above postulated relations, the definitions and integration over space, the commutation relations where the speed of light and the reduced Planck's constant have been set to unity. The last commutation relation does not follow from the postulated commutation relations (these are fixed only for πk0, not for πk1, πk2, πk3), except for μ = 0 For μ = 1, 2, 3 the Lorentz transformation behavior is used to deduce the conclusion. The next commutator to consider is The presence of the delta functions and their derivatives is explained by the requirement of microcausality that implies that the commutator vanishes when x ≠ y. Thus the commutator must be a distribution supported at x = y. The first term is fixed due to the requirement that the equation should, when integrated over X, reduce to the last equation before it. The following terms are the Schwinger terms. They integrate to zero, but it can be shown quite generally that they must be nonzero. Existence of Schwinger terms Consider a conserved current ∂ 0 J 0 + ∂ i J i = 0 , ⟨ 0 | J i | 0 ⟩ = 0 , J 0 † J 0 = J 0 J 0 † = I . {\displaystyle \partial _{0}J^{0}+\partial _{i}J^{i}=0,\quad \langle 0|J^{i}|0\rangle =0,\quad J^{0\dagger }J^{0}=J^{0}J^{0\dagger }=I.} () with a generic Schwinger term By taking the vacuum expectation value (VEV), one finds where S10 and Heisenberg's equation of motion have been used as well as H|0⟩ = 0 and its conjugate. Multiply this equation by f(x)f(y) and integrate with respect to x and y over all space, using integration by parts, and one finds Now insert a complete set of states, |n〉 Here hermiticity of F and the fact that not all matrix elements of F between the vacuum state and the states from a complete set can be zero. 詳細は「カッツ・ムーディ代数」を参照 g を N 次元複素単純リー次のような正規化された基底をもつものとする構造定数すべての添え字について反対称であり交換関係であるuntwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数 g は次のようにして得られる n ∈ Z に対して基底コピーし(コピーたちを相異なる見て),ベクトル空間として とおき,交換関係を と定める.C = D = 0 ならば,Gmi でられる部分代数明らかに上の多項式ループ代数同一である詳細は「ヴィット代数」を参照 ヴィット代数は,エルンスト・ヴィットにんで名づけられており円周 S1 上の滑らかなベクトル場リー VectS1 の複素である座標では,そのようなベクトル場は とけ,リーブラケットはベクトル場のリーブラケットで,S1 単に与えられる代数は W = VectS1 + iVectS1 と書かれる.W の基底次の集合与えられる: この基底を満たす: このリー有用な中心拡大,ヴィラソロ代数をもつ.それは su(1, 1) と sl(2, R) に同型3 次元部分代数持つ n ≠ 0 に対し集合 {d0, d−n, dn} は su(1, 1) ≅ sl(2, R) に同型部分代数張るsl(2, R) や su(1, 1) との関係 m, n ∈ {−1, 0, 1} に対しとなるこれらは次の対応sl(2, R) の交換関係である SU(1, 1) と SL(2, R) は次の写像同型である同じ写像指数写像性質のためリーレベル成り立つsu(1, 1) の基底与えられる古典参照): さて計算する写像ブラケット保つので,{d0, d−1, d1} が実数体上張る W の部分代数 sl(2, ℝ) と su(1, 1) の間にリー同型がある同じことは {d0, d−n, dn}, n ≠ 0 でられる任意の部分代数対して成り立つこれは同型の一方の元の単純なリスケーリングから従う詳細はウィグナー定理」、「射影表現」、およびコホモロジー」を参照 G が行列リー群のときリー G は によって与えることができるただし α は t = 0 で単位元通る G 内の微分可能なであるリー元の交換子2つの g1, g2交換子を用いて計算できる同様に表現 U(G) が与えられると,そのリー u(g) は計算されるすると g と u(g) の間基底基底送りしたがって u が g の忠実表現であるようなリー同型が存在するしかしながら U(G) が射影表現すなわち位相因子除いた表現ならば表現から計算されるリーは,g に同型ではない射影表現において乗法規則である関数 ω は,しばしば滑らか仮定されるが,を満たすそれは G じょうの 2-コサイクルと呼ばれる成り立つなぜならば Ω と U はともに t = 0 において単位元になるからである位相因子 ξ の説明は,ウィグナー定理参照.g における基底に対する交換関係 は u において となるので, u がブラケットじている(したがって実際にリーである可能性持つためには中心電荷 I がまれていなければならない詳細はボソン弦理論」を参照 A classical relativistic string traces out a world sheet in spacetime, just like a point particle traces out a world line. This world sheet can locally be parametrized using two parameters σ and τ. Pointsin spacetime can, in the range of the parametrization, be written xμ = xμ(σ, τ). One uses a capital X to denote points in spacetime actually being on the world sheet of the string. Thus the string parametrization is given by (σ, τ) ↦(X0(σ, τ), X1(σ, τ), X2(σ, τ), X3(σ, τ)). The inverse of the parametrization provides a local coordinate system on the world sheet in the sense of manifolds. The equations of motion of a classical relativistic string derived in the Lagrangian formalism from the Nambu–Goto action are A dot over a quantity denotes differentiation with respect to τ and a prime differentiation with respect to σ. A dot between quantities denotes the relativistic inner product. These rather formidable equations simplify considerably with a clever choice of parametrization called the light cone gauge. In this gauge, the equations of motion become the ordinary wave equation. The price to be paid is that the light cone gauge imposes constraints, so that one cannot simply take arbitrary solutions of the wave equation to represent the strings. The strings considered here are open strings, i.e. they don't close up on themselves. This means that the Neumann boundary conditions have to be imposed on the endpoints. With this, the general solution of the wave equation (excluding constraints) is given by where α' is the slope parameter of the string (related to the string tension). The quantities x0 and p0 are (roughly) string position from the initial condition and string momentum. If all the αμ n are zero, the solution represents the motion of a classical point particle. This is rewritten, first defining and then writing In order to satisfy the constraints, one passes to light cone coordinates. For I = 2, 3, ...d, where d is the number of space dimensions, set Not all αnμ, n ∈ ℤ, μ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d} are independent. Some are zero (hence missing in the equations above), and the "minus coefficients" satisfy The quantitity on the left is given a name, the transverse Virasoro mode. When the theory is quantized, the alphas, and hence the Ln become operators.
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