リー群論,
リー環論,
およびそれらの表現論において,
リー環の
拡大 (
Lie algebra extension) e とは,
与えられたリー環 g を
別のリー環 h
によって「
拡大」
することである.
拡大はいろいろな
方法で生じる.
2つのリー環の
直和を取ることによって得られる自明な拡大 (
trivial extension)
がある.
別の種類の
拡大は
分裂拡大 (
split extension) や
中心拡大 (
central extension)
である.
拡大は,
例えば射影群表現から
リー環を作るときに,
自然に生じる.
そのようなリー環は
中心電荷を
持つ. w
有限次元単純リー環上の多項式ループ代数から
始めて,
2つの拡大,
中心拡大と
微分による拡大を
施すと,
untwisted アファインカッツ・ムーディ
代数に
同型な
リー環を
得る.
中心拡大した
ループ代数を用いて2次元時空の
カレント代数を
構成できる.ヴィラソロ
代数はヴィット
代数の普遍中心拡大である.
中心拡大は
物理学で
必要と
される,
なぜならば量子化された系の
対称性を表す群は
通常古典的な対称変換群の中心拡大であり,
同様に量子系の
対応する symmetry リー環は
一般に古典的な symmetry algebra の中心拡大であるから
である.カッツ・ムーディ
代数は
統一超弦理論の
対称変換群であると
予想されている.
中心拡大されたリー環は
場の量子論,
特に共形場理論,
弦理論と
M理論において,
支配的な役割を果たす.
後半の大部分はリー環の
拡大が
実際有用である分野である
数学と
物理学双方での
応用の
背景資料に
割かれ
ている.
かっこつき
リンク,(
背景資料),はそれが
有益であろうところで
提供される.
リー対応のため,
理論は,
したがってリー環の
拡大の歴史は,
群の
拡大の
理論と
歴史と
密接に関係している.
群の
拡大の
系統的な
研究は
オーストリアの数学者オットー・シュライアー (
Otto Schreier)
によって1923
年の
彼の PhD 論文(
後に出版)
においてな
された.オットー・ヘルダー (
Otto Hölder)
によってシュライアーの
論文のために出された問題は次のもので
あった:「
2つの群 G と H が
与えられたとき,
群 E であって G と
同型な
正規部分群 N を
持ち剰余群 E/N が H と
同型であるものをすべて求めよ.」
リー環の
拡大は
無限次元リー環に
対して最も興味深く有用である.1967
年ヴィクトル・カッツ (
Victor Kac) とロバート・ムーディ (
Robert Moody) は
独立に古典的なリー環の
概念を
一般化し,
今ではカッツ・ムーディ
代数と呼ばれる無限次元リー環の
新しい理論を拓いた.
それらは有限次元単純リー環を
一般化し,
しばしば拡大として具体的に構成できる.
以下では次のような記号の濫用が
用いられる:
指数写像 exp で
引数が
与えられたとき
eX,
直積 G × H の
元 (g,
eH) を g(
eH は H の
単位元),
リー環の
直和で
も同様(
さらに g + h = (g, h) と
書かれる).
半直積と
半直和についても同様.
標準的単射(
群と
リー環両方)は
暗黙の同一視のために用いられる.
さらに.G, H,
..., が
群であれば,G, H,
..., の
元のデフォルトの
名前は g, h,
...,
であり,
それらのリー環は g, h,
... である.g, h,
..., の
元のデフォルトの
名前は G, H,
... であり(
群と同じ!),
乏しいアルファベット資源を節約する意味もあるが,
主に統一的な表記
のためである.
拡大の
材料となるリー環は,
何も言わずに,
同じ体上のものが
取られる.
総和規約が
使われ,
上下両方の添え字に関わる場合もある.
警告:
以下の証明や
証明の
概略のすべてが
普遍的な有効性を持っているわけ
ではない.
主な理由はリー環が
しばしば無限次元であるために,
リー環に対応するリー群が
ないかも
しれないから
である.
さらに,
そのような群が
存在したとしても,「
通常の」
性質を持っているとは
限らず,
例えば指数写像があるとは
限らず,もしあっても「
通常の」
性質を
すべては
持たないかもしれない.
そのような場合には,
群を「
リー群」
と呼ぶべき
かどうか疑わしい.
文献は
画一的でない.
明示的な
例には
たぶん,
妥当な構造が
適切な位置に
書かれる.
リー環の
拡大は
短完全列を用いて定式化される.
短完全列とは,
長さ3の
完全列 h ↪
i e ↠
s g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\
overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\
overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}} () であって,i が
単射で,s が
全射で,
ker s = im i なる
ものである.
完全列のこれらの
性質から,h(の
像)が e の
イデアルであることが
従う.
さらに,
であるが,g が e の
部分環に
同型であるとは限らない.この
構成は
群の
拡大という密接に関連した概念に
おける類似の構成を
反映している.
同じ体上のリー環に
対して完全列 (1) が
成り立っているとき,e は g の h
による拡大であるという.
定義性質は
言い換えられる.
リー環 e が g の h
による拡大であるとは, 0 ↪ ι h ↪
i e ↠
s g ↠ σ 0 {\displaystyle 0\;{\
overset {\
iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\
overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\
overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\
overset {\
sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0} () が
完全であることをいう.
ここで両端の 0 は(
零ベクトル 0 のみ
からなる)
零リー環を
表し,
写像は
明らかなものである,
つまり,ι は 0 を 0 に
写し,σ は g の
すべての元を 0 に
写す.この
定義では,i が
単射で s が
全射であることは
自動的に従う. g の h
による拡大は
一意とは限らない.e, e′ を
2つの拡大とし,
以下プライムは
明らかな意味で用いる.
このとき,
リー環の
同型 f: e → e′ であって なるもの
が存在するとき,
拡大 e と e′ は
同値な
拡大であると
いわれる.
拡大の
同値性は
同値関係である.
リー環の
拡大 が
自明とは,
部分空間 i であって,
t = i ⊕
ker s かつ i は t の
イデアルとなるもの
が存在することをいう.
リー環の
拡大 が
分裂とは,
部分空間 u であって,
ベクトル空間として s = u ⊕
ker s かつ,u が s の
部分代数となるもの
が存在することをいう.
イデアルは
部分代数だが,
部分代数は
イデアルとは限らない.
したがって自明な拡大は
分裂拡大である.
リー環 g の
可換リー環 a
による中心拡大は,g
上のいわゆる(
非自明な)2-コサイクル(
背景)の
助けを借りて得ること
ができる.
非自明な 2-コサイクルは
リー群の
射影表現(
背景)の
文脈で
現れる.
このことは
読み進めば
それとなく言及される.
リー環の
拡大 が
中心拡大とは,
ker s が c
の中心 Z
(c) に含まれることをいう.
中心拡大 が
普遍とは,
任意の他の中心拡大 に
対して,
準同型 Ψ, Φ が
存在して,
図式 が
可換に
なること,
すなわち i′ ∘ Ψ = Φ ∘ i, s′ ∘ Φ = s
となることをいう. g, h を
同じ体 K
上のリー環とする. と
定義し,e
上に加法を
点ごとに
定義する.
スカラー乗法は
によって定義される.
これらの
定義により,h × g ≡ h ⊕ g は F
上のベクトル空間である.リーブラケット [ (
H 1 ,
G 1 ) , (
H 2 ,
G 2 ) ] = ( [
H 1 ,
H 2 ] , [
G 1 ,
G 2 ] ) {\displaystyle [(H_{1},G_{1}),(H_{2},G_{2})]=([H_{1},H_{2}],[G_{1},G_{2}])} ()
により,e は
リー環である.
さらに と
定義する.(1) が
完全列として成り立つことは
明らかである.g の h
によるこの
拡大は
自明な拡大と呼ばれる.
これはもちろん,
リー環の
直和に
他ならない.
定義の
対称性により,e は h の g
による拡大でもあるが,h ⊕ g ≠ g ⊕ h
である.(3) から
部分環 0 ⊕ g が
イデアルであることは
明らかである.
リー環の
直和のこの
性質は
自明な拡大の
定義に
昇格する.
準同型 G →
Aut(H)
を用いた群の
半直積(
背景)の
構成に
触発されて,
リー環の
対応する構成を作ること
ができる. ψ: g →
der h が
リー環の
準同型であるとき,
e = h ⊕ g
上のリーブラケットを [ ( H , G ) , ( H ′ , G ′ ) ] = [ H , H ′ ] + [ G , G ′ ] + ψ G ( H ) − ψ G ′ ( H ′ ) , H , H ′ ∈ h , G , G ′ ∈ g {\displaystyle [(H,G),(H',G')]=[H,H']+[G,G']+\
psi _{G}(H)-\
psi _{G'}(H'),\
quad H,H'\
in {\mathfrak {h}},\;G,G'\
in {\mathfrak {g}}} () で
定義する.このリーブラケット
により得られるリー環は
e = h ⊕
S g と
書かれ,h と g の
半直和と呼ばれる. (7) を
検査して 0 ⊕ g は e の
部分環であり h ⊕ 0 は e の
イデアルであることが
分かる.i: h → e を H ↦ H ⊕ 0
によって,s: e → g を H ⊕ G ↦ G, H ∈ h, G ∈ g
によって定義する.
ker s = im i は
明らかである.
したがって e は g の h
による拡大である.
自明な拡大と同様に,この
性質は
分裂拡大の
定義に
一般化する. G を
ローレンツ群 O(3, 1) とし,T を (
ℝ4, +) と
同型な
4次元の
平行移動群とし,ポワンカレ
群 P の
乗法規則を
考える: (
ただし T と
SO(3, 1) は P に
おけるそれらの像と
同一視される).ポワンカレ
群において (0, Λ)(a, I)(0, Λ−1) = (Λ a, I) ∈ T ⊂ P
であることが
直ちに従う.
したがってすべてのローレンツ変換 Λ は
逆写像が ΦΛ−1 の T の
自己同型 ΦΛ
に対応し,Φ は
明らかに準同型である.
さて と定義し,
乗法を (4) で
与える.
定義を
解きほぐすことで乗法が
最初の乗法と同じであることが
分かり,
P = P であることが
従う.(5') より ΨΛ =
AdΛ
なので (6') より ψλ =
adλ. λ ∈ o(3, 1)
である. δ を g の
導分(
背景)とし,h で δ で
張られる
1次元リー環を表す.
e = h ⊗ g
上のリーブラケットを
によって定義する.
ブラケットの
定義から g が e の
イデアルで h が e の
部分環であることは
明らかである.
さらに,h は e
において g に
complementary である.i: h → e を H ↦ (H, 0) で
与え,s: e → g を (H, G) ↦ G で
与える.
im i =
ker s は
明らかである.
したがって e は g の h
による分裂拡大である.
そのような拡大は
導分による拡大と呼ばれる. ε が
リー環 g
上の 2-コサイクル(
背景)で,h が
任意の1次元ベクトル空間であるとき,
e = h ⊕ g(
線型直和)とし,e
上のリーブラケットを で
定義する.
ここで H は h の
任意に1つ固定された元である.
反対称性は g
上のリーブラケットの
反対称性と 2-コサイクルの
反対称性から
従う.
ヤコビ律は g と ε の
対応する性質から
従う.
したがって e は
リー環である.
G1 = 0 とおき,μH ∈ Z(e) が
従う.また,i: μH ↦ (μH, 0) と s: (μH, G) ↦ G
により Im i =
ker s = {(μH, 0):μ ∈ F} ⊂ Z(e) が
従う.
したがって e は g の h
による中心拡大である.
それは 2-コサイクル
による拡大と呼ばれる.
以下に中心拡大と 2-コサイクル
に関するいくつかの結果を述べる.
自明な 2-コサイクルは
自明な拡大を
与え,2-コバウンダリは
自明な 2-コサイクルとコホモロガス
だから, d が
導分であることの
証明 d が
実際に導分であることを
確かめるには,まず,
それは ν が
線型だから線型であることに
注意して,
次を
計算する: K の
非退化性により,
最左辺と
最右辺で K の
左の引数は
等しい.
対称非退化結合形式 K と 2-コサイクル φ が
与えられると,
導分 d を
によって,
あるいは K の
対称性と φ の
反対称性を用いて によって定義できるという観察は
系を
導く. g が
リー群 G の
リー環で e が g
の中心拡大であるとき,
リー環が e の
リー群 E
が存在するかどうかを
問うこと
ができる.
答えは,
リーの
第三定理により,
肯定的である.
しかしリー環が e の G の"
中心拡大" E は
存在するだろうか? この
問いへの
答えはある
機械が必要で,Tuynman & Wiegerinck (1987,
Theorem 5.4) に
見つけること
ができる.
上述の定理の「
否定的」な
結果は,
少なくとも半単純リー環に
対しては,
中心拡大の
有用な応用を見つけるには
無限次元リー環に
行かなければならないことを
示している.
実際そのようなものはある.
ここではアファイン・カッツ・ムーディ
代数とヴィラソロ
代数を紹介する.
これらはそれぞれ多項式ループ代数とヴィット
環の
拡大である. g を
多項式ループ代数(
背景)
とする,
ただし g0 は
複素有限次元単純リー環である.
目標はこの
代数の中心拡大を見つけることである.
定理の
2つが
適用する.1つには,g
上の 2-コサイクルが
存在すれば,
中心拡大を
定義できる.もう
1つには,この 2-コサイクルが g0
パート(のみ)に
作用していれば,
得られる拡大は
自明である.
さらに,g0(のみ)に
作用する導分は 2-コサイクルの
定義に
使えない,
なぜならばこれらの
導分は
すべて内部的であり同じ問題が起こるから
である.
したがって C[λ, λ−1]
上の導分を
探す.
導分の
1つの
そのような集合は
である. g
上の非退化双線型結合反対称形式 L
を作るために,
注意はまず,m, n を
固定して
引数の
制限に
向けられる.
要求を満たす“
全て”の
形式は g0
上のキリング形式 K の
倍数であることは
定理である.これより
でなければならない,K の
対称性により であり,
結合性により である.l = 0
として γ
lm = γ0,l+m が
分かる.この
最後の条件は
前のを
含んでいる.
このことを用いて,f(n) = γ0,n と
定義する.
すると定義方程式は
となる.
すべての i ∈ Z に
対して,
定義 は
実際対称結合双線型形式 を
定義する.
しかしこれらはすべての形式が
正しい性質をもつ
ベクトル空間の
基底をなす.
手元の
導分と
条件 に戻り,
定義を用いて次が
分かる:
あるいは,
n = l + m
として, これ(と
反対称性条件)は,
k = i ならば成り立つ,
とくに k = i = 0
のとき成り立つ.
したがって L = L0
および d =
d0 と
選ぶ.
これらの
選択により,
系の前提が
満たされる. で
定義される 2-コサイクル φ が g
の中心拡大 を
定義するために最後に雇われ,そのリーブラケットは
である.
基底元に対して,
適切に正規化し
反対称構造定数により次が
成り立つ:
これは多項式ループ代数の
普遍中心拡大である.
用語の
注意:
物理学の用語では,
上の代数はカッツ・ムーディ
代数で
通用するかもしれないが,
数学では
そうではない.
そのためには追加の次元,
導分による拡大が必要である.
それにもかかわらず,
物理への
応用で,g0 の
固有値あるいはその
代表が(
通常の)
量子数と
解釈されると,
生成元の追加の superscript は
レベルと呼ばれる.
それは追加の量子数である.
固有値がちょうど
レベルである追加の作用素は
さらに以下で導入される.
詳細は「
カレント代数」を
参照 多項式ループ代数の中心拡大の
応用として,
量子的場の
理論の
カレント代数が
考えられる(
背景).
Suppose one
has a current algebra, with the
interesting commutator being [
J a 0 ( t , x ) ,
J b i ( t , y ) ] =
i C a b c J c i ( t , x ) δ ( x − y ) +
S a b i j ∂ j δ ( x − y ) + ⋯ , {\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{
ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\
delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{
ab}^{ij}\
partial _{j}\
delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+\dotsb ,} () with a Schwinger term.
To construct this
algebra mathematically,
let g be the
centrally extended polynomial loop algebra of the previous section with
as one of the commutation relations,
or, with a
switch of notation (l→m, m→n, i→a, j→b, λm⊗
Ga→
Tma) with a
factor of i
under the physics convention,
Define using elements of g, One
notes that
so that it is defined on a circle.
Now compute the
commutator, For
simplicity,
switch coordinates so that y → 0, x → x − y ≡ z and
use the
commutation relations,
Now employ the
Poisson summation formula, for
z in the
interval (0, L) and
differentiate it to yield and finally or since the
delta functions arguments only ensure that the
arguments of the left and right arguments of the commutator are
equal (
formally δ(z) = δ(z − 0) ↦ δ((x −y) − 0) = δ(x −y)).
By comparison with CA10,
this is a current algebra in two spacetime dimensions,
including a Schwinger
term, with the
space dimension curled up into a circle.
In the classical setting of quantum field theory,
this is perhaps of little use, but with the
advent of string theory where
fields live on world sheets of strings, and
spatial dimensions are
curled up,
there may be relevant applications.
前の節で 2-コサイクル φ の
構成において用いられた
導分 d0 は
中心拡大された多項式ループ代数,カッツ・ムーディ
代数を
実現するため
ここでは g と
書く,
上の導分 D に
拡張できる(
背景).
単純に とおく,
次に,
ベクトル空間として と
定義する.e
上のリーブラケットは,
導分との
標準的な構成に
よれば,
基底上次で
与えられる:
便宜上, と
定義する.
さらに,
台有限次元単純リー環の
基底は
構造係数が
すべての添え字で
反対称となるようとられ
基底は
適切に正規化されていると仮定する.
このとき定義より
直ちに次の交換関係が
分かる:
これらがちょうど
untwisted アファイン・カッツ・ムーディ
代数の簡略な
記述である.
要約するため,
有限次元単純リー環から
はじめる.
係数がその
有限次元単純リー環の
形式ローラン多項式の空間を
定義する.
対称非退化交代双線型形式と
導分の
援助のうけ,2-コサイクルが
定義され,
続いて 2-コサイクル
による中心拡大の
標準的な処方箋に
用いられる.この
新しい空間に
導分を
拡張し,
導分による分裂拡大の
標準的な処方箋を
用い,
untwisted アファイン・カッツ・ムーディ
代数が
得られる.
詳細は「ヴィラソロ
代数」を
参照 目的はミゲル・アンヘル・ヴィラソロ
によるヴィラソロ
代数をヴィット
代数 W(
背景)の 2-コサイクル φ
による中心拡大として構成することである.2-コサイクルの
ヤコビ律より
次が
成り立つ: ( l − m ) η n + m , p + ( m − n ) η m + n , l + ( n − l ) η l + n , m = 0 , η i j = φ (
d i ,
d j ) . {\displaystyle (
l-m)\
eta _{n+m,p}+(
m-n)\
eta _{m+n,l}+(
n-l)\
eta _{l+n,m}=0,\
quad \
eta _{ij}=\varphi (d_{i},d_{j}).} () l = 0 とし η の
反対称性を用いて を
得る.
拡大において,
元 d0 に対する交換関係は
である.
右辺の中心電荷を取り除くことが
望ましい.
このために と
定義する.
そして,f を 1-コチェイン
として用いて,
であるので,
前のと
同値なこの 2-コサイクル
により, が
成り立つ.この
新しい 2-コサイクル
により(
プライムは
外して)
条件は
となり,
したがって である,
ただし最後の条件はリーブラケットの
反対称性による.これと l + m +
p = 0(Z3 の「
平面」を
切り出す)
により (V10) は
となり,
p = 1(Z2 の「
直線」を
切り出す)
として となる.
これは一般に で
解かれる差分方程式である.
すると W の
元の拡大に
おける交換子は
である.β = 0
のとき基底を
変換して(
あるいは 2-コサイクルを 2-コバウンダリ
によって修正して) とでき,
中心電荷が
全く現れず,
したがって拡大は
自明である.(
これは d0 のみが
もともとの関係を
得た前の修正の場合では(
一般には)ない.)β ≠ 0
のとき基底の
変換 により交換関係は の
形で,m
について線型な
部分は
自明である.
それはまた
H2(W, C) が
1 次元である(β の
選択に対応)ことも
示している.
慣習的な選択は α = −β = 1/12 と
取り任意の対象 C に
任意の因子を
吸収することによって自由性をなお
保持する.
するとヴィラソロ
代数 V は
であり,
交換関係は
である.
詳細は「ボゾン
的弦理論」を
参照 The
relativistic classical open string (
background)
is subject to quantization. This
roughly amounts to taking the
position and the
momentum of the string and
promoting them
to operators on the space of states of open strings. Since
strings are
extended objects, this
results in a continuum of operators depending on the parameter σ.
The following commutation relations are
postulated in the Heisenberg picture.
All other commutators vanish.
Because of the
continuum of operators, and
because of the
delta functions,
it is desirable to express these
relations instead in terms of the
quantized versions of the Virasoro
modes, the Virasoro operators. These are
calculated to satisfy They are
interpreted as creation and
annihilation operators acting on Hilbert space,
increasing or decreasing the
quantum of their
respective modes.
If the index is negative, the
operator is a creation operator,
otherwise it is an annihilation operator. (
If it is zero,
it is proportional to the total momentum operator.)
In view of the fact that the
light cone plus and minus modes were
expressed in terms of the
transverse Virasoro
modes, one must
consider the
commutation relations between the Virasoro operators. These were
classically defined (
then modes)
as Since,
in the quantized theory, the
alphas are
operators, the
ordering of the factors matter.
In view of the
commutation relation between the
mode operators,
it will only matter for the operator L0 (
for which m + n = 0). L0
is chosen normal ordered, where
c is a possible ordering constant. One
obtains after a
somewhat lengthy calculation the
relations If one would
allow for m + n = 0 above,
then one has
precisely the
commutation relations of the Witt algebra.
Instead one has upon
identification of the generic central term as (D − 2)
times the
identity operator,
this is the
Virasoro algebra, the
universal central extension of the Witt algebra. The
operator L0
enters the
theory as the
Hamiltonian,
modulo an additive constant.
Moreover, the Virasoro
operators enter into the
definition of the Lorentz generators of the theory.
It is perhaps the most important algebra in string theory. The
consistency of the Lorentz generators,
by the way,
fixes the
spacetime dimensionality to 26.
While this
theory presented here (for
relative simplicity of exposition)
is unphysical,
or at the very least incomplete (
it has,
for instance,
no fermions) the
Virasoro algebra arises in the same way in the more
viable superstring theory and M-theory.
詳細は「
群の
拡大」を
参照 リー群 G の
射影表現 Π(G)(
背景)は,
いわゆる群拡大 Gex を
定義するのに
使うことができる.
量子力学において,
ウィグナーの
定理は,G が
対称変換群であるとき,
それはユニタリ
あるいは反ユニタリ作用素によってヒルベルト空間上射影的に表現されるということを
述べている.
これはしばしば,G の
普遍被覆群に
うつりそれを対称変換群と
とることで
扱われる.
これは回転群 SO(3) や
ローレンツ群 O(3, 1) に
対しては
うまくいくが,
対称変換群が
ガリレイ群のときは
うまくいかない.
この場合その中心拡大であるバーグマン群にうつら
なければならない.
これはシュレディンガー方程式の
対称変換群である.
同様に,G = R2n,
位置と
運動量の
空間の平行移動の
群のとき,
その中心拡大であるハイゼンベルク群にうつら
なければならない. ω を Π から
誘導される G
上の 2-コサイクル
とする.
集合として と
定義し,
乗法を で
定義する.
結合性は ω が G
上の 2-コサイクル
だから成り立つ.
単位元については が
成り立ち,
逆元は
である.
集合 (C*, e) は Gex の
可換部分群である.
これは Gex が
半単純でないこと
を意味する.G
の中心 Z(G) = {z ∈ G|zg =
gz ∀g ∈ G} はこの
部分群を含む.
中心は
より大きいかもしれない.
リー環の
レベルでは,Gex の
リー環 gex は
ベクトル空間としては で
与えられリーブラケットは
であることを示すこと
ができる.
ここで η は g
上の 2-コサイクル
である.この 2-コサイクルは
おおいに非自明な方法ではあるが ω から
得ること
ができる さて
射影表現 Π
を用いて写像 Π
ex を で
定義できる.
それは次の性質を
持つ:
なので Π
ex(Gex) は Gex の
本物の表現である.
ウィグナーの
定理の
文脈では,
状況を
そのようなものとして描写できる(C* を U(1) で
おきかえる);
SH で
ヒルベルト空間 H に
おける単位球面を
表し,(·, ·) を
その内積とする.
PH で
ray space を
表し,[·, ·] で
ray product を表す.
さらに波矢印で
群作用を表す.
すると図式 は
可換である,
すなわち である.
さらに,G が [·,·] を
保つ PH の
対称性であるの
と同様に,Gex は (·,·) を
保つ SH の
対称性である.π2 の
ファイバーは
すべて円である.
これらの
円は U(1) の
作用で
不変である.
これらの
ファイバーへの U(1) の
作用は
推移的で
固定点がない.
結論は,
SH は
PH 上の主ファイバー束で,
構造群は U(1)
である.
拡大を
適切に議論するためには,
リー環の
定義性質を
超えた構造が必要である.
これらについての基本的な事実が
クイック・リファレンスのためここに集められ
ている.
リー環 g
上の導分(
微分)δ とは,
写像 であって,
ライプニッツ則 が
成り立つもののことである.
リー環 g
上の導分全体の集合は
der g と
書かれる.
それはそれ自身リーブラケット
のもとでリー環である.
それは g の
自己同型の
群 Aut g の
リー環である. を示さ
なければならない.
右側が
成り立てば,
微分して t = 0 とおけば
左側が
成り立つ.
左側 (A) が
成り立てば,
右側を と
書き,この
式の
右辺を
微分する.
それは,(A)
を用いて,
恒等的に 0
である.
したがってこの
式の
右辺は t に依らず,t = 0
に対するその
値に
等しく,
これはこの
式の
左辺である. G ∈ g
ならば,adG1(
G2) = [
G1,
G2]
によって作用する adG は
導分である.
集合 {adG : G ∈ g} は g
上の内部微分全体の集合である.
有限次元単純リー環に
対して,
すべての微分は
内部微分である.
詳細は「
半直積」を
参照 2つのリー群 G, H と,H の
自己同型群 Aut H を
考える.
後者は H の
同型の群である.
リー群の
準同型 Φ: G →
Aut H が
あれば,
各 g ∈ G に
対して,ある Φ(g) ≡ Φg ∈
Aut H が
存在して,
性質 Φ
gg' = ΦgΦg', g,g' ∈ G を
持つ.E で"
集合" H × G を
表し,
乗法を
次で
定義する: ( h , g ) ( h ′ , g ′ ) = ( h ϕ g ( h ′ ) ,
g g ′ ) , g , g ′ ∈ G , h , h ′ ∈
H . {\displaystyle (h,g)(h',g')=(h\
phi _{g}(h'),
gg'),\
quad g,g'\
in G,\;h,h'\
in H.} ()
このとき E は
単位元 (
eH,
eG) を
持つ群であり,
逆元は (h, g)−1 = (Φg−1(h−1), g−1)
によって与えられる.
逆元の
式と
式 (4)
を用いて,H は E
において正規であることが
分かる.この
半直積による群を
E = H ⊗
S G と
書く.
逆に,
E = H ⊗
S G が
群 E の
与えられた半直積表示ならば,
定義により H は E
において正規であり,
各 g ∈ G に
対して Cg(h) ∈
Aut H,
ただし Cg(h) ≡
ghg−1,
であり,
写像 Φ: g ↦
Cg は
準同型である. さて
リー対応を
利用しよう.
写像 Φg: H → H, g ∈ G は
それぞれ,
リー環の
レベルで,
写像 Ψg: h → h を
誘導する.この
写像は Ψ g ( G ) =
d d t ϕ g (
e t G ) | t = 0 , G ∈ g , g ∈ G {\displaystyle \
Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{
dt}}\
phi _{g}(e^{
tG})\
right|_{t=0},\
quad G\
in {\mathfrak {g}},\;g\
in G} ()
によって計算される.
例えば,G と H が
ともに大きい群 E の
部分群であり,Φg =
ghg−1
であるとき, Ψ g ( G ) =
d d t g e t G g − 1 | t = 0 =
g G g −
1 = A d g ( G ) {\displaystyle \
Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{
dt}}
ge^{
tG}g^{-1}\
right|_{t=0}=
gGg^{-1}=\mathrm {
Ad} _{g}(G)} ()
であり,Ψ を E の h
上の随伴作用 Ad を G に
制限したものと
認識する.さて Ψ: G →
Aut h [ ⊂
GL(h)
if h
is finite-dimensional] は
準同型であり,もう1
度リー対応に
訴え,
一意的な
リー環準同型 ψ: g →
Lie(
Aut h) =
Der h ⊂
gl(h)
が存在する.この
写像は(
形式的には) ψ
G = d d t Ψ
e t G | t = 0 , G ∈ g {\displaystyle \
psi _{G}=\left.{\frac {d}{
dt}}\
Psi _{e^{
tG}}\
right|_{t=0},\
quad G\
in {\mathfrak {g}}} () で
与えられ,
例えば,Ψ =
Ad ならば,(
形式的には) ψ
G = d d t A d e t G | t = 0 =
d d t e a d t G | t = 0 =
a d G {\displaystyle \
psi _{G}=\left.{\frac {d}{
dt}}\mathrm {
Ad} _{e^{
tG}}\
right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{
dt}}e^{\mathrm {
ad} _{
tG}}\
right|_{t=0}=\mathrm {
ad} _{G}} ()
である,
ただし Ad と
随伴作用 ad とのここで
厳密に証明されている関係が
使われている.
リー環は,
ベクトル空間として,
e = h ⊕ g
である.
これは GH が E を
生成し G ∩ H = (
eH,
eG)
だから明らかである.リーブラケットは
次で
与えられる: リーブラケットの
計算 リーブラケットを
計算するため,s と t でパラメトライズ
される E
内の曲面から
始める.
e = h ⊕ g
内の h の
元は
バーを
つけて表し,g
についても同様にする.
である.
であり 5
により であるから
である.さてこ
の関係式を t
について微分し t = 0 で
評価する:
であり 6
により であるから
である.
詳細は「
代数的位相幾何学」、「
コホモロジー」、
および「
リー環の
コホモロジー」を
参照 現在の目的,
理論の
限られた部分の
考察には,
リー環の
コホモロジーが
十分である.
定義は
最も可能な一般的なもの
ではなく,
最もよく使われるもの
でさえないが,
それらの言い及ぶ対象はより
一般の定義の
真正の
例である.
主な興味の
対象は g
上の 2-コサイクル
であり,
双線型交代関数 であって,
ヤコビ律に
似た 2-コサイクルの
ヤコビ律と呼ばれる性質 を
持つもの
として定義される. g
上のすべての 2-コサイクルの
集合は Z2(g, F) と
書かれる. ある 2-コサイクルは 1-コチェインから
得ること
ができる.g
上の 1-コチェインは
単に線型写像 f: g → F
である.
すべてのそのような写像の
集合は
C1(g, F) と
書かれ,
もちろん(
少なくとも有限次元の場合には)
C1(g, F) ≅ g*
である.1-コチェイン f
を用いて,2-コサイクル δf が
によって定義できる.
交代性は
直ちに分かり,2-コサイクルの
ヤコビ律は(
通常どおり)
それを書き出して
材料の
定義と
性質(
ここでは g
上のヤコビ律と f の
線型性)
を用いて示される.
線型写像 は(
ここでは C1(g, F) に
制限されているが)コバウンダリ
作用素と呼ばれる.
C1(g, F) の δ
による像を
B2(g, F) と
書く.
商 は g の
第二コホモロジー群と呼ばれる.
H2(g, F) の
元は 2-コサイクルの
同値類であり,
二つの 2-コサイクル φ1, φ2 が
同値なコサイクル
であるとは,
それらの差が 2-コバウンダリ
であること,
すなわち φ1 = φ
2 + δf
となる f ∈
C1(g, F)
があることをいう.
同値な 2-コサイクルはコホモロガス (cohomologous)
と呼ばれる.φ ∈ Z2(g, F) の
同値類は [φ] ∈
H2 と
書かれる.
これらの
概念はいくつか
の方向に
一般化される.
各記事を
参照.
詳細は「
構造定数」を
参照 B を g の
ハメル基底とする.
このとき各 G ∈ g は
適切な大きさのある
添え字集合 A に
対して と
一意的に
書ける.この
表示において,
有限個の cα
だけが 0
でない.
以下では(
簡単のため)
基底は
可算であり,
添え字には
ラテン文字が
使われ,
添え字集合は ℕ∗ = 1, 2,
... にとれると仮定する.
ただちに基底元に対して が
分かる,
ただしアインシュタインの
和の
規約を用いている.
構造定数の
添え字の
配置(
上か
下か)は
重要ではない.
次の定理は
有用である:
定理:
構造定数が
すべての添え字について反対称な
基底が
そんざいすることと,
リー環が
単純コンパクトリー
環と u(1)
リー環の
直和であることは
同値である.
これは g
上の実正定値計量 g であって
不変性条件 を
任意の基底について満たすもの
が存在することと
同値である.この
最後の条件は
場の量子論において非可換ゲージ理論の
物理的理由のため必要である.
したがって,
単純リー環の
コンパクト形上の Cartan catalog(
sl(n, C) →
su(n) など)
を用いて,
可能なゲージ理論の
無限リストを作ること
ができる.1つの
そのようなゲージ理論は
標準模型の U(1) ×
SU(2) ×
SU(3)
ゲージ理論でありその
リー環は u(1) ⊕
su(2) ⊕
su(3)
である.
詳細は「
キリング形式」を
参照 キリング形式は
次で
定義される g
上の対称双線型形式である:
ここで adG は
ベクトル空間 g に
作用する行列と
見なされる.
必要な大事な性質は,g が
半単純ならば
カルタンの
判定法により K は
非退化であるということである.
そのような場合 K は g と g∗ を
同一視するのに
使うことができる.λ ∈ g∗
ならば,ある ν(λ) = Gλ ∈ g が
存在して,
となる.
これはリースの
表現定理に
似ており,
証明は
実質的には同じである.
キリング形式は
性質 を
持ち,
これは結合性と呼ばれる.gαβ = K[Gα,Gβ] と
定義し
中の
ブラケットを
構造定数により展開することで,
キリング形式は
上の不変性条件を満たすことが
分かる.
詳細は「
ループ代数」
および「
ループ群」を
参照 ループ群は
単位円周 S1 から
リー群 G への
滑らかな写像の
群に
群構造を G
上の群構造によって定義したものとして取られる.
するとループ群の
リー環は
S1 から G の
リー環 g への
写像の
ベクトル空間である.
そのようなリー環の
任意の部分環は
ループ代数と呼ばれる.
ここでは注意は
次の形の多項式ループ代数に
当てられる:
リー環の
導出 これを見るために,
ループ群の
元 H に
対して G の
単位元の近くの
元 H(λ) で g の
基底 {
Gk} で
表されたもの を考える,
ただし hk(λ) は
実数で
小さく,
和は g
の次元 K を
渡る.
さて と書いて を
得る.
したがって関数 は
リー環を
構成する.
少し考えるとこれらは θ が
0 から 2π まで
行くとき g
内のループであることが
確かめられる.
演算は g の
演算によって点ごとに
定義されるものである.この
代数は
代数 に
同型である,
ただし C[λ, λ−1] は
ローラン多項式の代数であり, と
対応する.リーブラケットは
である.
この後者の
視点により元は(
定数!)
係数が g の
多項式と考えること
ができる.
基底と
構造定数の
ことばでは,
である.
異なる表記
をすることも
一般的である,
ただし λ の
省略は
混乱を避けるため心に留めておくべき
である;
元は
実際には関数 S1 → g
である.
するとリーブラケットは
であり,
これは以下で導入される untwisted アファイン・カッツ・ムーディ
代数において中心項"なし"の
交換関係の
1つとして実現可能である.
m = n = 0
として,g に
同型な
部分代数が
得られる.(
定義を
さかのぼることで分かるように)
それは S1 から G への
定数写像の
集合を
生成し,
これは exp が
全射のとき(
たとえば G が
コンパクトのとき)
明らかに)G に
同型である.G が
コンパクトならば,g の
基底 (
Gk) を
Gk が
歪エルミートであるように選ぶこと
ができる.
結果として,
である.
そのような表現はユニタリ
と呼ばれる,
なぜならば代表元 がユニタリ
だからである.
ここで,T
の下の
添え字の
マイナスは
慣習であり,
和の
規約が
使われ,λ は(
定義により)
右辺の T たちに
埋もれている.
カレント代数は
場の量子論において大域的ゲージ対称性の結果として生じる.
Conserved currents occur in classical field theories whenever the
Lagrangian respects a
continuous symmetry.
This is the
content of Noether's theorem.
Most (
perhaps all)
modern quantum field theories can be formulated in terns of classical Lagrangians (
prior to quantization),
so Noether's
theorem applies in the quantum case as well. Upon
quantization, the
conserved currents are
promoted to position dependent operators on Hilbert space. These
operators are
subject to commutation relations,
generally forming an infinite-dimensional Lie algebra. A
model illustrating this is presented below. To enhance the
flavor of physics,
factors of i will appear here and there as opposed to in the mathematical conventions.
Consider a
column vector Φ
of scalar fields (Φ1, Φ2,
..., ΦN).
Let the
Lagrangian density be This Lagrangian is invariant under the transformation where {
F1,
F1,
...,
Fr} are
generators of either U(N)
or a closed subgroup thereof,
satisfying Noether's
theorem asserts the
existence of r
conserved currents, where πk0 ≡ π
k is the
momentum canonically conjugate to Φ
k. The reason these
currents are
said to be conserved is because and
consequently the
charge associated to the charge density Ja0
is constant in time. This (
so far classical)
theory is quantized promoting the
fields and their
conjugates to operators on Hilbert space and
by postulating (bosonic
quantization) the
commutation relations The
currents accordingly become operators They
satisfy,
using the above postulated relations, the
definitions and
integration over
space, the
commutation relations where the
speed of light and the
reduced Planck's
constant have been set to unity. The
last commutation relation does not follow from the
postulated commutation relations (these are
fixed only for πk0,
not for π
k1, π
k2, πk3),
except for μ = 0 For μ = 1, 2, 3 the
Lorentz transformation behavior is used to deduce the conclusion.
The next commutator to consider is The
presence of the delta functions and their
derivatives is explained by the requirement of microcausality that
implies that the
commutator vanishes when x ≠
y. Thus the
commutator must
be a distribution supported at x =
y. The first term is fixed due to the
requirement that the
equation should, when
integrated over X,
reduce to the last equation before it. The following terms are the Schwinger terms. They
integrate to zero, but
it can be shown quite generally that they must
be nonzero.
Existence of Schwinger
terms Consider a
conserved current ∂ 0 J 0 + ∂ i
J i = 0 , ⟨ 0 |
J i | 0 ⟩ = 0 , J 0 † J 0 = J 0 J 0 † =
I . {\displaystyle \
partial _{0}J^{0}+\
partial _{i}J^{i}=0,\
quad \langle 0|J^{i}|0\rangle =0,\
quad J^{0\
dagger }J^{0}=J^{0}J^{0\
dagger }=
I.} () with a
generic Schwinger
term By taking the
vacuum expectation value (
VEV), one
finds where
S10 and
Heisenberg's
equation of motion have been used as well as H|0⟩ = 0 and its conjugate.
Multiply this
equation by f(x)f(y) and
integrate with respect to x
and y over all space,
using integration by parts, and one
finds Now insert a complete set of states, |n〉
Here hermiticity of F and
the fact that not all matrix elements of F between the
vacuum state and
the states from a
complete set can be zero.
詳細は「カッツ・ムーディ
代数」を
参照 g を N
次元複素単純リー環で
次のような正規化された基底をもつ
ものとする:
構造定数は
すべての添え字について反対称であり,
交換関係は
である.
untwisted アファイン・カッツ・ムーディ
代数 g は
次のようにして
得られる.
各 n ∈ Z に
対して基底を
コピーし(
コピーたちを
相異なると
見て),
ベクトル空間として とおき,
交換関係を と
定める.C = D = 0
ならば,Gmi で
張られる
部分代数は
明らかに上の多項式ループ代数と
同一である.
詳細は「ヴィット
代数」を
参照 ヴィット
代数は,エルンスト・ヴィットに
因んで
名づけられ
ており,
円周 S1 上の滑らかなベクトル場の
リー環 VectS1 の
複素化である.
座標では,
そのようなベクトル場は と
書け,リーブラケットは
ベクトル場のリーブラケットで,
S1 上単に次で
与えられる:
代数は W = VectS1 + iVectS1 と
書かれる.W の
基底は
次の集合で
与えられる: この
基底は
次を満たす: この
リー環は
有用な中心拡大,ヴィラソロ
代数をもつ.
それは su(1, 1) と
sl(2, R) に
同型な
3 次元部分代数を
持つ.
各 n ≠ 0 に
対し,
集合 {
d0, d−n,
dn} は
su(1, 1) ≅
sl(2, R) に
同型な
部分代数を
張る.
sl(2, R) や
su(1, 1)
との関係 m, n ∈ {−1, 0, 1} に
対し,
となる.
これらは次の対応で
sl(2, R) の
交換関係である:
群 SU(1, 1) と
SL(2, R) は
次の写像で
同型である:
同じ写像は
指数写像の
性質のためリー環の
レベルで
成り立つ.
su(1, 1) の
基底は
次で
与えられる(
古典群を
参照): さて
次を
計算する:
写像は
ブラケットを
保つので,{
d0, d−1,
d1} が
実数体上張る W の
部分代数 sl(2, ℝ) と
su(1, 1)
の間には
リー環の
同型がある.
同じことは {
d0, d−n,
dn}, n ≠ 0 で
張られる
任意の部分代数に
対して成り立つ.
これは(
同型の一方の)
元の単純なリスケーリングから
従う.
詳細は「
ウィグナーの
定理」、「
射影表現」、
および「
群コホモロジー」を
参照 G が
行列リー群のとき,
リー環の
元 G は
によって与えること
ができる,
ただし α は t = 0 で
単位元を
通る G
内の微分可能な道である.
リー環の
元の交換子は
2つの道 g1,
g2 と
群の
交換子を用いて計算できる:
同様に,
群の
表現 U(G) が
与えられると,その
リー環 u(g) は
次で
計算される:
すると g と u(g)
の間の
基底を
基底に
送りしたがって u が g の
忠実表現であるようなリー環の
同型が存在する.
しかしながら U(G) が
射影表現,
すなわち位相因子を
除いた表現ならば,
群の
表現から
計算されるリー環は,g に
同型ではない.
射影表現において乗法の
規則は
である.
関数 ω は,
しばしば滑らかと
仮定されるが,
次を満たす:
それは G
じょうの 2-コサイクル
と呼ばれる.
次が
成り立つ:
なぜならば Ω と U は
ともに t = 0
において単位元になるから
である.
位相因子 ξ の
説明は,
ウィグナーの
定理を
参照.g に
おける基底に対する交換関係 は u
において となるので, u が
ブラケットで
閉じている(
したがって実際にリー環である可能性を
持つ)
ためには,
中心電荷 I が
含まれてい
なければならない.
詳細は「
ボソン的弦理論」を
参照 A
classical relativistic string traces out a world sheet in spacetime,
just like a
point particle traces out a world line.
This world sheet can
locally be parametrized using two parameters σ and τ.
Points xμ
in spacetime can,
in the range of the parametrization,
be written xμ = xμ(σ, τ). One
uses a
capital X
to denote points in spacetime actually being on the world sheet of the string.
Thus the
string parametrization
is given by (σ, τ) ↦(X0(σ, τ),
X1(σ, τ),
X2(σ, τ),
X3(σ, τ)). The
inverse of the parametrization
provides a
local coordinate system on the world sheet in the sense of manifolds. The
equations of motion of a classical relativistic string derived in the Lagrangian formalism from the Nambu–
Goto action are A dot over a
quantity denotes differentiation with respect to τ
and a prime differentiation with respect to σ
. A dot between quantities denotes the
relativistic inner product. These
rather formidable equations simplify considerably with a
clever choice of parametrization
called the
light cone gauge.
In this gauge, the
equations of motion become the
ordinary wave equation. The
price to be paid is that the
light cone gauge imposes constraints,
so that one
cannot simply take arbitrary solutions of the wave equation to represent the strings. The
strings considered here are
open strings,
i.e. they
don't
close up on themselves.
This means that the
Neumann boundary conditions have to be imposed on the endpoints.
With this, the
general solution of the wave equation (
excluding constraints)
is given by where α'
is the
slope parameter of the string (
related to the string tension). The
quantities x0 and
p0 are (
roughly)
string position from the
initial condition and
string momentum.
If all the αμ
n are zero, the
solution represents the
motion of a classical point particle.
This is rewritten,
first defining and then writing In order to satisfy the
constraints, one
passes to light cone coordinates. For
I = 2, 3, ...d, where
d is the number of space dimensions,
set Not all αnμ, n ∈ ℤ, μ ∈ {+, −, 2, 3,
..., d} are independent. Some are
zero (
hence missing in the equations above), and the "
minus coefficients"
satisfy The quantitity
on the left is given a name, the
transverse Virasoro mode.
When the theory is quantized, the
alphas, and
hence the
Ln become operators.